calka

[gufox]

\(\displaystyle{ \int \frac{x ^{3} arccosx}{ \sqrt{1-x ^{2} } }dx = \begin{bmatrix} u=x ^{3} arccosx, v'=3x ^{2}arccosx- \frac{x ^{3} }{ \sqrt{1-x ^{2} } }\\u'= \frac{1}{ \sqrt{1-x ^{2} } },u=arcsinx \end{bmatrix} =}\)

jakis inny pomysl na ta caleczke? czy trzeba smigac w ten sposob?

[Wasilewski]

Ja bym zrobił tak:
\(\displaystyle{ t = arccosx \\
-dt = \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} \\
x = cost \\
-\int t cos^{3}t dt \\
u = t \ \ \ dv = cos^{3}t dt \\
u' = 1 \ \ \ v = sint - \frac{sin^{3}t}{3} \\
- t tcos^{3}t dt = -t(sint - \frac{sin^{3}t}{3}) + \frac{1}{3} t (3sint - sin^{3}t) dt = -t(sint - \frac{sin^{3}t}{3}) -cost + \frac{cost}{3} - \frac{cos^{3}t}{9} + C = -t(sint - \frac{sin^{3}t}{3}) - \frac{2cost}{3} - \frac{cos^{3}t}{9} + C}\)
I teraz wystarczy wrócić do pierwotnej zmiennej.

[gufox]

tez tak myslalem, ale nie wiedzialem jak wyznaczyc x