iloczyn sinusów katów ostrych

[katrin_17]

w pewnym trojkącie prostokątnym suma cosinusów katów ostrych jest równa \(\displaystyle{ \frac{2 \sqrt{3} }{3}}\) oblicz iloczyn sinusów tycch kątów.

odp. \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\)

[sea_of_tears]

\(\displaystyle{ cos\beta +cos\gamma =\frac{2\sqrt3}{3}\newline
cos\beta+cos(90^{o}-\beta)=\frac{2\sqrt3}{3}\newline
cos\beta+sin\beta=\frac{2\sqrt3}{3}\newline
cos\beta+sin\beta=\frac{2\sqrt3}{3} /^2\newline
cos^2\beta+2cos\beta sin\beta + sin^2\beta = \frac{4}{3}\newline
1+2sin\beta cos\beta = \frac{4}{3}\newline
2sin\beta cos\beta = \frac{1}{3}\newline
sin(2\beta)=\frac{1}{3}\newline
\newline
sin\beta\cdot sin\gamma=\newline
sin\beta\cdot sin(90^{o}-\beta)=\newline
=sin\beta \cdot cos\beta=\newline
=sin\beta \cdot cos\beta=\frac{1}{2}\cdot 2sin\beta cos\beta=\frac{1}{2}\cdot sin(2\beta)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}}\)

[JankoS]

\(\displaystyle{ cos90^{o}+cos\beta+cos(90^{o}-\beta)=\frac{2\sqrt3}{2}\newline}\)

Chyba to nie ma wpływu na rozwiązanie, ale kąt prosty, to... kąt prosty. nie wstawiałbym go do tej równości.

[sea_of_tears]

faktycznie, przeoczyłam ten fakt, ale wpływu na rozwiazanie nie ma to żadnego już poprawiam odpowiedź

[Elvis]

Sinus jednego z tych kątów to cosinus drugiego.
\(\displaystyle{ (\sin + \cos )^2 = (\frac{2 \sqrt{3}}{3})^2 = \frac{4}{3} \\
(\sin + \cos )^2 = \sin ^2 + \cos ^2 + 2 \sin \cos = 1 + 2 \sin \cos }\)
Stąd \(\displaystyle{ \sin \cos = \frac{1}{6}}\).