Ciąg arytmetyczny i geometryczny dla pewnych x i y...

MakCis · Post autor: **MakCis** » 25 gru 2008, o 19:22

Dla jakich wartości x i y liczby \(\displaystyle{ x + y , x^2, y+2}\) są trzema kolejnymi wyrazami zarówno ciągu arytmetycznego jak i geometrycznego?

Dostałem taki układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x^2-x-2y-2=0 \\ x^4 = (x+y)(y+2) \end{cases}}\)

Jak go rozwiązać?

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 25 gru 2008, o 20:05

Z pierwszego wyznacz y:

\(\displaystyle{ y= \frac{2x^2-x-2}{2}}\) i podstaw do drugiego. Po zredukowaniu wyrazów podobnych powinno zostać:

\(\displaystyle{ x^2-4x+4=0}\) dalej wiadomo

wb · Post autor: wb » 25 gru 2008, o 20:06

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x^2-x-2y-2=0 y= \frac{2x^2-x-2}{2} \\ x^4 = (x+y)(y+2) \end{cases} \\ \\ x^4=(x+ \frac{2x^2-x-2}{2} )( \frac{2x^2-x-2}{2} +2) \\ 4x^4=(2x^2+x-2)(2x^2-x+2) \\ 4x^4=(2x^2+(x-2))(2x^2-(x-2)) \\ 4x^4=4x^4-(x-2)^2 \\ (x-2)^2=0 \\ x=2 y= \frac{2 2^2-2-2}{2}= 2}\)

MakCis · Post autor: **MakCis** » 25 gru 2008, o 20:50

Mam tylko jedno pytanie, dlaczego na podstawie tego równania
\(\displaystyle{ 4x^4=4x^2-(x-2)^2}\) nalezy stwierdzić, że jedynym jego rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ (x-2)^2=0}\) ?

[ Dodano: 25 Grudnia 2008, 21:03 ]
wb, to równanie chyba jest błędne. Tam bo prawej stronie powinno być 4x^4 i wtedy dochodzi się do tego co ma Sherlock,

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 25 gru 2008, o 21:26

MakCis pisze: Tam bo prawej stronie powinno być 4x^4

Dokładnie, wb zastosował wzór skróconego mnożenia tylko niegrzeczna dwójeczka zastąpiła czwóreczkę Pozdrawiam