Witam.
1) W czworokącie ABCD zachodzi równość \(\displaystyle{ AB+CD=BC+AD}\). Udowodnić, że okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do okręgu wpisanego w trójkąt ACD.
2) W trójkącie równobocznym o boku \(\displaystyle{ a}\) zawarty jest sześciokąt foremny o boku \(\displaystyle{ b}\). Dowieść, że \(\displaystyle{ a qslant 3b}\)
Z góry dziękuję za pomoc.
[Planimetria] Okręgi styczne, wielokąty foremne
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
- limes123
- Użytkownik
- Posty: 666
- Rejestracja: 21 sty 2008, o 22:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ustroń
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 93 razy
[Planimetria] Okręgi styczne, wielokąty foremne
1. ABCD jest opisany na okregu. Narysuj sobie najpierw sytuacje, ze jest czworokat i te dwa okregi wpisane w te dwa trojkaty sa styczne (z tego wywnioskuj, ze czworokat tez jest wtedy opisany). Pozniej cos pokombinuj przez sprzecznosc moze.
-
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3247 razy
[Planimetria] Okręgi styczne, wielokąty foremne
Zadanie 1.
Trójkąt ABC (niebieski okrąg)
|AB|=z+x
|BC|=x+y
|AC|=z+y
Trójkat ACD (czerwony okrąg)
|AC|=v+t
|DC|=u+t
|AD|=v+u
Wystarczy udowodnić, że y=t i z=v. Wtedy punkt E będzie wspólnym punktem styczności dla obu okręgów.
Z warunków zadania:
z+x+u+t=x+y+v+u
z+t=y+v
ale
|AC|=z+y
|AC|=v+t
czyli
z+y=v+t
\(\displaystyle{ \begin{cases} z+t=y+v \\ z+y=v+t \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=t \\ z=v \end{cases}}\)
[ Dodano: 25 Grudnia 2008, 16:21 ]
Zadanie 2.
Największy okręgiem, który da się wpisać w trójkąt równoboczny i na którym można opisać sześciokąt foremny należacy do trójąta, jest okrąg o promieniu
\(\displaystyle{ r= \frac{a \sqrt{3} }{6}}\)
Wysokości trójkątów równobocznych, z których zbudowany jest sześciokąt są równe
\(\displaystyle{ h= \frac{b \sqrt{3} }{a}}\)
Aby sześciokąt zawarty był w trójkącie
\(\displaystyle{ r qslant h\\
\frac{a \sqrt{3} }{6} qslant \frac{b \sqrt{3} }{2}\\
a qslant 3b}\)
Trójkąt ABC (niebieski okrąg)
|AB|=z+x
|BC|=x+y
|AC|=z+y
Trójkat ACD (czerwony okrąg)
|AC|=v+t
|DC|=u+t
|AD|=v+u
Wystarczy udowodnić, że y=t i z=v. Wtedy punkt E będzie wspólnym punktem styczności dla obu okręgów.
Z warunków zadania:
z+x+u+t=x+y+v+u
z+t=y+v
ale
|AC|=z+y
|AC|=v+t
czyli
z+y=v+t
\(\displaystyle{ \begin{cases} z+t=y+v \\ z+y=v+t \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=t \\ z=v \end{cases}}\)
[ Dodano: 25 Grudnia 2008, 16:21 ]
Zadanie 2.
Największy okręgiem, który da się wpisać w trójkąt równoboczny i na którym można opisać sześciokąt foremny należacy do trójąta, jest okrąg o promieniu
\(\displaystyle{ r= \frac{a \sqrt{3} }{6}}\)
Wysokości trójkątów równobocznych, z których zbudowany jest sześciokąt są równe
\(\displaystyle{ h= \frac{b \sqrt{3} }{a}}\)
Aby sześciokąt zawarty był w trójkącie
\(\displaystyle{ r qslant h\\
\frac{a \sqrt{3} }{6} qslant \frac{b \sqrt{3} }{2}\\
a qslant 3b}\)