Danych jest siedem odcinków o długościach należących do przedziału \(\displaystyle{ }\). Wykaż, że wśród nich są takie trzy, które są bokami trójkąta.
Wiadomo nierówność trójkąta i ZSD. Nie wiem tylko jak to ładnie zapisać. Ma ktoś jakiś pomysł?
[Kombinatoryka] Tworzenie trójkąta z odcinków
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
- Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
[Kombinatoryka] Tworzenie trójkąta z odcinków
\(\displaystyle{ a_1 \le a_2 \le \ldots \le a_7}\)
nie wprost, wówczas każda z tych nierówności jest prawdziwa:
\(\displaystyle{ a_3 \ge a_2+a_1 \\ a_4 \ge a_3+a_2 \\ a_5 \ge a_4 + a_3 \\ a_6 \ge a_5+a_4 \\ a_7 \ge a_6+a_5}\)
po dodaniu stronami i redukcji wyrazów podobnych:
\(\displaystyle{ a_7 \ge a_5+a_4+a_3+2a_2+a_1 \ge (a_4+a_3)+(a_3+a_2)+(a_2+a_1)+2a_2+a_1 \\ \ge a_4+2a_3+4a_2+2a_1 \ge (a_3+a_2)+2(a_2+a_1)+4a_2+2a_1 =a_3 + 7a_2 + 4a_1 \ge 8a_2+5a_1 \ge 13}\)
sprzeczność
ogólnie tą górną granicę można podwyższyć do 13 - w tym ciągu nierówności jest pewne podobieństwo z ciągiem Fibonacciego, jak chcesz, możesz to przemyśleć
nie wprost, wówczas każda z tych nierówności jest prawdziwa:
\(\displaystyle{ a_3 \ge a_2+a_1 \\ a_4 \ge a_3+a_2 \\ a_5 \ge a_4 + a_3 \\ a_6 \ge a_5+a_4 \\ a_7 \ge a_6+a_5}\)
po dodaniu stronami i redukcji wyrazów podobnych:
\(\displaystyle{ a_7 \ge a_5+a_4+a_3+2a_2+a_1 \ge (a_4+a_3)+(a_3+a_2)+(a_2+a_1)+2a_2+a_1 \\ \ge a_4+2a_3+4a_2+2a_1 \ge (a_3+a_2)+2(a_2+a_1)+4a_2+2a_1 =a_3 + 7a_2 + 4a_1 \ge 8a_2+5a_1 \ge 13}\)
sprzeczność
ogólnie tą górną granicę można podwyższyć do 13 - w tym ciągu nierówności jest pewne podobieństwo z ciągiem Fibonacciego, jak chcesz, możesz to przemyśleć