Zbadaj zbieznosc dwóch ciagów w poniższych topologiach

[mol_ksiazkowy]

Zbadaj zbieznosc tych dwóch ciagów w ponizszych topologiach \(\displaystyle{ (X=R, \tau)}\) :
\(\displaystyle{ x_n =\frac{1}{n}}\), \(\displaystyle{ y_n =n}\)
a) dyskretna
b) antydyskretna
c) dopelnin skonczonych
d)dopełnien przeliczalnych
e) dopelnin skonczonych z wyroznionym punktem \(\displaystyle{ x=0}\)
f) z baza \(\displaystyle{ B= { [x,y ) , x R }}\)

[max]

W topologii dyskretnej zbieżne są tylko ciągi stałe. W topologii antydyskretnej każdy ciąg jest zbieżny do każdego punktu przestrzeni.
W topologii dopełnień zbiorów skończonych na zbiorze nieskończonym każdy ciąg, który nie ma podciągu stałego zbiega do każdego punktu.
W topologii dopełnień zbiorów przeliczalnych nie ma ciągów zbieżnych.
Co do topologii dopełnień skończonych z wyróżnionym punktem to nie wiem jak się ja definiuje.
W topologii 'strzałki' pierwszy z tych ciągów jest zbieżny, a drugi rozbieżny.

(wszędzie powyżej pisząc 'ciąg' miałem na myśli ciąg przeliczalny)

edit. drobna poprawka.

[mol_ksiazkowy]

Quote:

Co do topologii dopełnień skończonych z wyróżnionym punktem to nie wiem jak się ja definiuje.

o tak \(\displaystyle{ X}\) jest nieskonczony , i \(\displaystyle{ x_0 X}\), \(\displaystyle{ \tau= \{ A : X \backslash A \ jest skonczony \ lub \ x_0 A \}}\)

Ciekawa topologia, Na marginesie, w tej topologii zbiory skonczone sa domkniete, a dla nieskonczonych mamy \(\displaystyle{ cl(A)=A \cup \{ x_0 \}}\) , podobnie nieco wnetzre

[max]

A, tak, to bardziej z 'wyrzuconym' niż z 'wyróżnionym' punktem:)
Można tak kombinować z dopełnieniami zbiorów o mocy co najwyżej takiej jak nam trzeba, np w topologii wyrzuconego punktu i dopełnień zbiorów co najwyżej przeliczalnych można pokazać, że nie działa ciągowa charakteryzacja domknięcia.

W tej topologii zbieżny (do \(\displaystyle{ x_{0}}\)) jest każdy ciąg, który nie ma podciągu stałego różnego od \(\displaystyle{ x_{0}}\)