Rozwiazać w liczbach całkowitych układ równań:
\(\displaystyle{ a+b+c=24\\
a^2+b^2+c^2=526\\
abc=440}\)
[Równania] Układ równań w liczbach całkowitych
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
- Użytkownik
- Posty: 326
- Rejestracja: 21 paź 2007, o 21:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 122 razy
[Równania] Układ równań w liczbach całkowitych
\(\displaystyle{ (a+b+c)^2=576\\
a^2+b^2+c^2=526}\)
Odejmijmy jedno od drugiego i podzielmy przez 2 a dostaniemy układ równań postaci
\(\displaystyle{ \begin{cases}a+b+c=24\\
ab+bc+ac=25\\
abc=440 \end{cases}}\)
Teraz stwórzmy wielomian pomocniczy
\(\displaystyle{ W(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-24x^2+25x-440}\)
Teraz należy znaleźc tylko jego pierwiastki
Nie jest to raczej najsprytniejsze rozwiązanie ponieważ znalezienie pierwiastków tego wielomianu wymaga użycia wzorów Cardano (przynajmniej tak mi się wydaje ;D) ale na pewno jest alternatywą jeśli się nie posiada żadnego sprytniejszego pomysłu
a^2+b^2+c^2=526}\)
Odejmijmy jedno od drugiego i podzielmy przez 2 a dostaniemy układ równań postaci
\(\displaystyle{ \begin{cases}a+b+c=24\\
ab+bc+ac=25\\
abc=440 \end{cases}}\)
Teraz stwórzmy wielomian pomocniczy
\(\displaystyle{ W(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-24x^2+25x-440}\)
Teraz należy znaleźc tylko jego pierwiastki
Nie jest to raczej najsprytniejsze rozwiązanie ponieważ znalezienie pierwiastków tego wielomianu wymaga użycia wzorów Cardano (przynajmniej tak mi się wydaje ;D) ale na pewno jest alternatywą jeśli się nie posiada żadnego sprytniejszego pomysłu
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
[Równania] Układ równań w liczbach całkowitych
Szukamy pierwiastków całkowitych, więc nie ma sensu katować się Cardanem, lepiej posprawdzać dzielniki \(\displaystyle{ 440}\) (patrz tw o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych).
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
[Równania] Układ równań w liczbach całkowitych
Albo wystarczy dokładniej przeczytać zadanie...chris139 pisze:\(\displaystyle{ (a+b+c)^2=576\\
a^2+b^2+c^2=526}\)
Odejmijmy jedno od drugiego i podzielmy przez 2 a dostaniemy układ równań postaci
\(\displaystyle{ \begin{cases}a+b+c=24\\
ab+bc+ac=25\\
abc=440 \end{cases}}\)
Teraz stwórzmy wielomian pomocniczy
\(\displaystyle{ W(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-24x^2+25x-440}\)
Teraz należy znaleźc tylko jego pierwiastki
Nie jest to raczej najsprytniejsze rozwiązanie ponieważ znalezienie pierwiastków tego wielomianu wymaga użycia wzorów Cardano (przynajmniej tak mi się wydaje ;D) ale na pewno jest alternatywą jeśli się nie posiada żadnego sprytniejszego pomysłu
Metoda wielomianu pomocniczego jest standardowa i tu się przydaje, należy jeszcze pomyśleć jakie warunki musi spełniać potencjalna liczba całkowita aby być pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach całkowitych
EDIT: Się spóźniłem...