ciekawy dowód

[pelas_91]

Udowodnij, że dla dowolnych trzech niewspółliniowych punktów leżących na płaszczyźnie, z których żadne dwa nie lażą na prostej prostopadłej do osi Ox, istnieje dokładnie jeden trójmian kwadratowy, taki że jego wykres przechodzi przez te punkty.

[Yaco_89]

Ja bym to ugryzł w ten sposób: jak wiadomo trójmian kwadratowy jest postaci ax^2+bx+c, załóż że masz dane współrzędne 3 punktów i spróbuj ułożyć układ równań z niewiadomymi a, b i c i zbadać ilość rozwiązań. to taki pomysł na szybko bo nie próbowałem tego dokładnie przeliczać, ale może zadziała Pozdro tyszanin

[Qń]

Istnienie
Przez punkty \(\displaystyle{ (x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)}\) (spełniające żądane warunki) przechodzi trójmian kwadratowy:
\(\displaystyle{ f(x) = y_1\frac{(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)} + y_2\frac{(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)} +
y_3\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)}}\)

Jednoznaczność
Jeśli przez dane trzy punkty przechodzą dwa trójmiany \(\displaystyle{ f,g}\), to wtedy wielomian \(\displaystyle{ (f-g)}\) jest stopnia co najwyżej drugiego, oraz ma trzy pierwiastki (\(\displaystyle{ x_1,x_2,x_3}\)). Stąd musi być wielomianem stale równym zero, czyli \(\displaystyle{ f=g}\).

Uwaga: twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnych wielomianów, nie tylko dla trójmianów kwadratowych, tzn. przez \(\displaystyle{ n+1}\) punktów o żądanych własnościach przechodzi dokładnie jeden wielomian stopnia \(\displaystyle{ n}\). Dowód analogiczny.

Q.

[pelas_91]

Yaco_89, też o tym myślałem kolego z Tych, ale z układu nie wiem jakim cudem wychodzą dość dziwne herezje...
Qń, skąd ten wzór?

[Qń]

Qń, skąd ten wzór?

Ten wzór to królik wyciągnięty z kapelusza, w samym rozwiązaniu nie trzeba się tłumaczyć z takich sztuczek ;>.

A ów królik to po prostu wzór interpolacyjny Lagrange'a.

Q.

[pelas_91]

To jest zadanie ze zbioru zadań dla klasy II LO w temacie będącym wstępem do wielomianów. Na tym etapie przeciętny uczeń nie zna takich wzorów a mimo to autorzy zbioru umieścili zadanie w tym temacie Na pewno da sie to jakoś inaczej zrobić, tylko jak xD

[Qń]

Rzeczony wzór można wyprowadzić rozwiązując układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
ax_1^2+bx_1+c=y_1 \\
ax_2^2+bx_2+c=y_2 \\
ax_3^2+bx_3+c=y_3 \end{cases}}\)

Q.