całka nieoznaczona

[tomek11]

1. \(\displaystyle{ \int_{}^{} (tgx+ctgx) ^{2} dx}\)

[Dedemonn]

Trochę przekształceń na początek:

\(\displaystyle{ tgx + ctgx = \frac{sinx}{cosx} + \frac{cosx}{sinx} = \frac{sin^2x+cos^2x}{sinx cosx} = \frac{1}{\frac{1}{2}sin2x}}\)

Stąd:

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(\frac{1}{2}sin2x)^2} = t \frac{dx}{\frac{1}{4}sin^22x} = \begin{bmatrix} 2x = t \\ dx = \frac{1}{2} dt \end{bmatrix} = 4 t \frac{\frac{1}{2}dt}{sin^2t} = \\ = 2 t \frac{dt}{sin^2t} = -2 ctgt + C = -2 ctg2x + C}\)


Pozdrawiam.

[tomek11]

Dziekuje za zainteresowanie.
wynik wyszedl mi taki sam rozwiazujac przez calkowanie bezposrednie (zapomnialem o tym napisac), ale w odpowiedziac jest cos takiego \(\displaystyle{ tgx-ctx +C}\)
i to mnie zastanawialo, dlatego dodalem ten przyklad tutaj.
ale skoro wyszlo nam tak samo stosujac inne metody, to widocznie to jest dobry wynik, moze po przeksztalceniu tego\(\displaystyle{ ctg2x}\) wyjdzie to samo. Albo co tez czasem sie zdarza w odpowiedziach jest bład
Dzieki jeszcze raz

[Dedemonn]

\(\displaystyle{ ctg2x = \frac{cos2x}{sin2x} = \frac{cos^2x-sin^2x}{2sinxcosx} = \frac{cos^2x}{2sinxcosx}-\frac{sin^2x}{2sinxcosx} = \frac{cosx}{2sinx}-\frac{sinx}{2cosx} = \frac{1}{2}(ctgx-sinx)}\)

Stąd

\(\displaystyle{ -2ctg2x + C = -2 \cdot \frac{1}{2} (ctgx-tgx) + C = tgx - ctgx + C}\)


Również niegłupim pomysłem jest ściągnięcie programu do rysowania wykresów funkcji (sam używam Advanced Grapher'a) i wklepać tam oba otrzymane wyniki - jeśli wykresy tych funkcji się pokrywają, znaczy, że wyniki są tożsame.


Pozdrawiam.