Dwumian Newtona - współczynniki

[emperor2]

Wiadomo, że suma współczynników rozwinięcia dwumianu:
\(\displaystyle{ \left( \sqrt[3]{x}+ \frac{1}{ \sqrt{x} } \right) ^{n}}\)
jest równa 2048. Znaleźć sumę A + B współczynników liczbowych wyrazów \(\displaystyle{ Ax^{2}}\) i \(\displaystyle{ \frac{B}{x^{3}}}\)

Mam nadzieję, że dobry dział.

[Gacuteek]

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} ={n \choose 0} 1 ^{n} + {n \choose 1}1 ^{n-1} 1+ {n \choose 2}1 ^{n-2} 1 ^{2} + ... + {n \choose n-1} 1 1 ^{n-1}+ {n \choose n}1 ^{n}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} =(1+1) ^{n}=2 ^{n}}\)

\(\displaystyle{ 2 ^{n} =2048=2 ^{11}}\)

\(\displaystyle{ n=11}\)

LICZĘ "A":

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{x ^{11-k _{1} } } \frac{1}{ \sqrt{x^{k _{1} }} }=x ^{2}}\)

\(\displaystyle{ x ^{ \frac{11-k _{1} }{3} } x ^{- \frac{k _{1} }{2} } =x ^{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{22-2k _{1} }{6} - \frac{3k _{1} }{6} =2}\)

\(\displaystyle{ 22-5k _{1} =12 5k _{1} =10 k _{1} =2}\)

\(\displaystyle{ A= {n \choose k _{1} } = {11 \choose 2} =55}\)

LICZĘ "B":

\(\displaystyle{ x ^{ \frac{11-k_{2}}{3} } x ^{- \frac{k_{2}}{2} } = \frac{1}{x ^{3} }}\)

\(\displaystyle{ \frac{22-2k_{2}}{6} - \frac{3k_{2}}{6}=-3}\)

\(\displaystyle{ 22-5k_{2}=-18 5k_{2}=40 k_{2}=8}\)

\(\displaystyle{ B= {n \choose k _{2} } = {11 \choose 8} =165}\)

\(\displaystyle{ A+B=220}\)

[emperor2]

Wielkie dzięki!