Wielkie Twierdzenie Fermata

[Parton]

Wszyscy ekscytują się dowodem Wielkiego Twierdzenia Fermata, ale słyszałem opinię (sam mało mam wiedzy żeby to stwierdzić), ze to twierdzenie jest kompletnie bezużyteczne (poza tym że na finale OM szło z niego jedno zadanie). A jak wy myślicie? No bo np. dowód Hipotezy Poincorego rozwinął bardzo topologię, a z jej prawdziwości wynika mnóstwo innych rzeczy. Zaś jak to jest z Tw. Fermata?

A tak w ogóle słyszałem, że kiedyś Japończycy zbudowali teorię matematyczną zbiorów które spełniają jakieśtam 3 warunki. Poudowadniali mnóstwo twierdzeń mieli bogate wnioski, a potem ktoś udowodnił, że jedyny zbiór który spełnia założenia teorii to zbiór pusty. Tak więc różnie to bywa z użytecznością stąd moje pytanie.

[Qń]

Istotnie, samo w sobie Wielkie Twierdzenie Fermata zdaje się być średnio przydatne, ale już parusetletnie próby jego udowodnienia posunęły matematykę bardzo naprzód, bo przy okazji rozwinięte zostały różne gałęzie tejże. Na przykład Kummer i Kronecker przy takich próbach mocno rozwinęli algebrę abstrakcyjną (waluacje \(\displaystyle{ p}\)-adyczne, pierścienie \(\displaystyle{ Z[\epsilon_p]}\)).

Jakby to powiedział taoista: sama droga jest celem. ;>

Q.

[xiikzodz]

Twierdzac, ze z dowodu hipotezy Poincarego wynika rozwoj tolpologii, zas twierdzenie Fermata to wiele halasu o nic, mozna blysnac w towarzystwie, tak powiedzmy miedzy zupa, a ptakiem. Niektorzy jednak nie beda zachwyceni, bo to stwierdzenia wysoce niewygodne. A czlowiek tak juz ma, ze predzej dostrzega i latwiej akceptuje ignorancje innych, niz wlasna, zas fakty niewygodne wypiera.

[Parton]

Słyszałem z kolei opinię Arnolda, że najważniejszym twierdzeniem matematyki jest Tw. o klasyfikacji powierzchni i facet zastanawia się czemu o rozmaitościach nie uczy się w liceum. A tak wracając do użyteczności, to ja przez całe życie byłem zwolennikiem matematyki abstrakcyjnej (im bardziej abstrakcyjnej tym lepiej) najbardziej mnie ciekawiły dowody istnienia itd. Ale ostatnio usłyszałem opinię, że gdyby matematyka nie miała zastosowań w życiu to byłaby taką samą filozofią jak filozofia. No i się teraz zastanawiam jak to jest z sensownością wchodzenia w coraz większe abstrakcje.

[xiikzodz]

Jesli chodzi o zastosowania roznych teorii w zyciu, to akurat techniki uzywane w dowodzie tw. Fermata maja aktualnie nieporownywalnie wieksze znaczenie, niz klasyfikacja powierzchni, co zreszta sam Arnold raczyl niegdys zauwazyc w jednym ze swoich slynnych wystapien.

Jesli natomiast chodzi o to, czy matematyka "praktyczna" ma rzeczywiscie wieksze praktyczne zastosowanie od abstrakcyjnej, to wystarczy przesledzic historie matematyki i jej zastosowan. Aktualnie wlasnie najbardziej abstrakcyjne rejony matematyki (np. geometria/topologia nieprzemienna, czyli w pewnym sensie teoria unifikacji matematyki XX-ego wieku i matematyki poriemannowskiej w ogole) maja najwiekszy zwiazek ze swiatem obserwowa(l)nym.

[Qń]

usłyszałem opinię, że gdyby matematyka nie miała zastosowań w życiu to byłaby taką samą filozofią jak filozofia.

Zanim odpowiem: "no to co z tego?", najpierw dwa wtręty.

Nie pamiętam już który dziewiętnastowieczny matematyk (coś mi się majaczy, że jakiś Anglik) krótko przed śmiercią powiedział z dumą (tak właśnie, z dumą), że nic z tego czym się zajmował w matematyce nie miało żadnego praktycznego zastosowania. Co prawda jakiś czas potem pewnie zaczął przewracać się w grobie, bo do jego abstrakcyjnej matematyki zastosowanie się później znalazło, ale zwraca uwagę sam sposób myślenia.

A drugi wtręt to podział matematyków według podejścia do matematyki, jaki przedstawił w swojej książce Marek Kordos. Dla pierwszej grupy matematyka jest źródłem do poznania prawdy o świecie, w tym też kierunku idzie myśl Leszka Kołakowskiego w jego bardzo dobrym eseju "Matematyk i mistyk". Dla drugiej grupy matematyka to zwykłe narzędzie, potrzebne do praktycznych zastosowań. Dla trzeciej wreszcie grupy matematyka to wyłącznie gimnastyka umysłu, bez jakiegoś głębszego filozoficznego sensu.

I ja jako osoba, której chyba najbliżej do grupy pierwszej, nie widzę nic szczególnie niestosownego w tym, że to czym się jakiś matematyk zajmuje, może nie mieć przełożenia na zastosowania.

Q.

[xiikzodz]

To sa takie tematy, ktore przypominaja mi dlugotrwale dysputy niejednokrotnie konczone czerwonymi gebami.

A co do podzialu Kordosa, to jest moim zdaniem niepelny. Skoro jest dociekliwosc, uzytecznosc i sport, to nalezy dopisac uzaleznienie, czyli coraz istotniejsza sile napedowa naszych dzialan. Ale i historycznie uzaleznienie gralo duza role, tylko ludzie do nalogow niechetnie sie przyznaja.

[Emiel Regis]

Uzależnienie oczywiscie jest istotne jednak nie bardzo ma jakikolwiek związek z podziałem stworzonym przez Kordosa. Ów podział mówi nam o tym jak można podchodzic do matematyki a nie jaki efekt ona [czesto] wywołuje.
Każdy kto sie juz uzaleznił to doszedł do tego uzaleznienia [byc moze nieswiadomie] uprawiajac matematyke na jeden z trzech wymienionych przez Kordosa sposobow.

[Qń]

mozna blysnac w towarzystwie, tak powiedzmy miedzy zupa, a ptakiem.
(...)
przypominaja mi dlugotrwale dysputy niejednokrotnie konczone czerwonymi gebami.

Wygląda na to, że masz jakieś traumatyczne doświadczenia związane z dyskusjami wszelakimi, ale na szczęście poglądy wymieniać można też rzeczowo i spokojnie ;>.

Q.

[xiikzodz]

Uzależnienie oczywiscie jest istotne jednak nie bardzo ma jakikolwiek związek z podziałem stworzonym przez Kordosa. Ów podział mówi nam o tym jak można podchodzic do matematyki a nie jaki efekt ona [czesto] wywołuje.

Alez ja doskonale wiem, o co chodzilo Kordosowi w tej i w wielu innych kwestiach i bardzo go lubie i podoba mi sie to, co on robi i mowi (smialo moge go nazywac jednym ze swoich mistrzow). W pewnym sensie dzieki Kordosowi w ogole zagladam tu na forum. Tym niemniej przez moje niezbyt precyzyjne sformulowanie, nie udalo mi sie najwyrazniej zakomunikowac nastepujacego. Otoz podzial na mistykow, stosowancow i sportowcow w matematyce zaklada domyslnie, ze uprawianie matematyki ma jakis cel, lub sens. Czy to dazenie do prawdy, czy to sluzba ludzkosci, czy przynajmniej poprawianie kondykcji intelektualnej. Tymczasem nie jest to niewatpliwie fakt uniwersalny. Znam matematykow, zreszta wielkich, ktorzy traktuja matematyke jako jedna z funkcji zyciowych. To samo zreszta dotyczy wielu innych dziedzin, na przyklad uprawiania sportu, czy sluchania muzyki (mnie to nie dotyczy, bo nie jestem matematykiem, ale nie potrafie sie zakwalifikowac do zednej z kategorii Kordosa, choc mam raczej efektowne argumenty na sensownosc kazdej z tych drog). Z drugiej strony istnieja tez ludzie widzacy gleboki sens egzystencjonalny w jedzeniu i tez nie sposob odebrac im racji, o ile sie zrozumie.

Moim zdaniem usilowanie nadania celu matematyce (czy filozofii, bo to bardzo pokrewne dziedziny) prowadzi na ogol do klopotliwej demonstracji ograniczenia intelektualnego.

Wygląda na to, że masz jakieś traumatyczne doświadczenia związane z dyskusjami wszelakimi, ale na szczęście poglądy wymieniać można też rzeczowo i spokojnie ;>.

Wlasnie, spektakularne spostrzezenie, w istocie zdanie owo nie sluzylo w swej istocie opisowi karnacji, czy tez dynamiki ukrwienia skory na twarzy. To ja dodam swoje spostrzezenie. W Polsce niechec do prowadzenia sporu/dyskusji (uprzedzajac nieuchronny, standardowy zabieg semantyczny w kolejnych postach: prowadzenie dyskusji znaczy dla mnie dokladnie tyle samo, co wymiana pogladow) jest uznawana za slabosc. Gotowosc prezentacji swoich pogladow natomiast jest wskaznikiem kondycji intelektualnej. W wielu innych miejscach jest na odwrot, co nie znaczy, ze tak jest uniwersalnie lepiej (dla mnie owszem).

A w ogole pisze tu, bo Parton to zdaje sie bystry facet i to, co tu pisze przypomina mi moje wlasne rostrzasania, ktore ostatecznie wydaly mi sie strata czasu i manifestacja ignoraqncji (do9kladnie tak, jak kazde tu moje slowo). Za to taki kilkunastoletni Connes szukal odpowiedzi na pytania egzystencjalne w analizie infinitezymalnej i, jak to zwykl mawiac (po wykonaniu tanca poszukujacego na podlodze liczb nieskonczenie malych), po roku intensywnych badan porzucil te idee. Niedlugo potem wykombinowal teorie kohomologii na nieprzemiennych rozmaitosciach rozniczkowych.

[Qń]

Moim zdaniem usilowanie nadania celu matematyce (czy filozofii, bo to bardzo pokrewne dziedziny) prowadzi na ogol do klopotliwej demonstracji ograniczenia intelektualnego.

Teza tak zadziwiająca, że aż mam wrażenie, że źle zrozumiałem więc się upewnię - czy Twoim zdaniem matematyka i filozofia nie mają żadnego celu (sensu)? A kto uważa inaczej, ten demonstruje intelektualne ograniczenie? Byłoby to zaiste szokujące przekreślenie sporej części intelektualnego dorobku ludzkości.

W wielu innych miejscach jest na odwrot

Tu też dopytam - w jakichże to miejscach gotowość do prowadzenia dyskusji świadczy o słabości, a unikanie dyskusji świadczy o kondycji intelektualnej?

Q.

[Parton]

Na chwilę obecną to ja mam takie podejście:
Matematyka zrodziła się z potrzeby opisu świata (geometria i arytmetyka) i jej rozwój (oczywiście na ile go znam) polegał na ugólnianiu tego co już wiedzieliśmy. Przeczytałem gdzies że matematyk dobry widzi fakty, wybitny analogie między faktami, a genialny analogie między analogiami. I to, że zrodziła się z praktyki pozwala wierzyć (w co ja wierzę) że ogromna część tego co robimy się kiedyś przyda jakimś fizykom.. Dla mnie taka myśl działa motywująco.

A co do filozofii:
Mało się znam na niej, więc mogę palnąć jakaś herezję, ale zauważyłem, że filozofia to jest albo zbiór jakichś mądrych i ponadczasowych obserwacji i rozważań dot. rzeczywistości (np. Platon) albo jakieś chore rozważania dotyczące tego czy to czy cegła ma wnętrze to tylko nasze złudzenie czy ona rzeczywiście ma coś w środku. No i gdyby zacząć się zajmować teoriami które sprowadzały się do rozważań podobnych do tych z cegłą, to mnie osobiście by to zniechęciło do uprawiania matematyki. Ja nie muszę widzieć zastosowań na własne oczy, ale wydaje mi się że jest mi potrzebna nadzieja że kiedyś to co robię się przyda. No bo gimnastykę umysłu można uprawiać równie dobrze robiąc sudoku. No takie mam subiektywne zdanie, może ktoś zgadzać, albo nie.

A no i jeszcze jedna rzecz: zawsze mnie zachwycało i do dzisiaj zachwyca, że z każdym poprawnym dowodem zgodzi się każdy matematyk na świcie. Albo się zgodzi albo stwierdzi, że go nie rozumie, ale nikt go nie zakwestionuje. Zaś u filozofów, to (jeszcze raz podkreślam że się mało znam) to wydaje mi się że raczej sobie nawzajem udowadniali ciągle błędy w rozumowaniach. No oczywiście poza ludźmi pokroju Platona. I jak tylko przedstawię ten zarzut jakiemuś filozofowi, to słyszę odpowiedź że to nie jest zarzut. A mi się wydaje, że jest.

[Emiel Regis]

W normalnych warunkach faktycznie nie byłby to zarzut. Zwróc uwagę, że ciągle poprawianie czyichś rozumowan powinno prowadzić do rozwoju, np teorie fizyczne, nikt nie ma za złe Einsteinowi, że poprawił teorię Newtona, z kolei pewnie za jakiś czas ktoś udoskonali jego teorię. Zasada ta się nie tyczy filozofii z tego względu, że tam rozumowania są dość płynne i niezbyt weryfikowalne przez życie, krótko mówiąc dany filozof ma swoje mocno subiektywne przemyślenia a reszta się z nim zgadza albo nie. Natomiast w fizyce eksperymenty weryfikują to czy ktoś ma rację czy nie i dzięki temu jest ciągła progresja.

Zresztą nie jestem zwolennikiem umieszczania blisko siebie słów matematyka i filozofia. Pomimo, że cenię filozofię za dążenie ludzi do często nietrywialnych przemyśleń to jednak do piękna matematyki jej wiele [w moim subiektywnym odczuciu, zresztą każda opinia jest subiektywna].

Najlepiej opisuje to jedna anegdota:

Czym się różni matematyk od filozofa? Matematyk aby pracować potrzebuje kartkę papieru, ołówek oraz kosz na śmieci. Filozof to samo poza koszem.

[Parton]

Ale w fizyce rozwój zawsze polegał na ugónieniu, Teoria względności jest uogólnieniem mehcaniki Newtona, chociaż jest koncepcyjnie totalnie odmienna, ale gdy się przechodzi w granicy do małych prędkości dostajemy mechanike Newtona a w filozofii nie ma czegoś takiego. I dlatego uważam, że to jest zarzut, bo w fizyce to jest jak najbardziej poprawianie, ale w filozofii, to chyba nie tyle poprawianie co raczej negowanie wszystkiego co nie jest moją teorią. Oczywiście nie mówię tu o Platonie.

[Emiel Regis]

Przykład który podałem faktycznie dotyczy uogólnienia w fizyce, jednak nie zawsze tak było, bardzo czesto wrecz nie, były tworzone teorie ktore coś wyjasnialy jednak pozniej sie okazywalo ze są bledne i calkiem od nich odchodzono, chocby przypuszczenia na temat budowy materii czy też mityczny eter.

A w filozofii jest podobnie... też sie uogólnia czasami, czasami wnika w szczegóły. Zależnie od tego jakie kto ma spojrzenie na świat i jakie potrzeby. Tą najważniejszą różnicą jest wg mnie nieweryfikowalnosc tez. Ale żeby nie odbiec za bardzo od tematu to spytam jeszcze tylko czemu tak wyróżniasz w swoich postach Platona? Jeszcze z czasów gdy czytałem Świat Zofii to pamiętam jego koncepcje idei, jednak nie zauważyłem żeby aż tak się wyróżniał wśród filozofow...