Ciąg arytmetyczny/geometryczny zadania z arkuszy maturalnych

[chomicek]

Witam mam problem z zadaniami z podręcznika "Matura Próbne arkusze maturalne 2008/2009 OE".

Oto treści zadań.

1.(Zadanie 3pkt. wer. podst.)

Dana jest funkcja określona wzorem f(x)=3x-5.
a) Wyznacz ogólny wyraz ciągu \(\displaystyle{ a_{n}}\) wiedząc, że \(\displaystyle{ a_{1}=f(2), a_{2}=f(4), a_{3}=f(6), ... , a_{n}=f(2n), ...}\)
b) Uzasadnij, że ciąg \(\displaystyle{ (a_{n}}\) jest ciągiem arytmetycznym.
c) Oblicz sumę \(\displaystyle{ a_{50}+a_{51}+...+a__{60}}\)

Odpowiedź do zadania :
a) \(\displaystyle{ a_{n}=6n-5, n N_{+}}\)
c) 3575

2.(Zadanie 4pkt. wer. podst.)

Trzywyrazowy ciąg geometryczny jest rosnący. Iloczyn wszystkich wyrazów tego ciągu jest równy (-8), a iloraz pierwszego wyrazu przez trzeci wyraz wynosi \(\displaystyle{ 2 \frac{1}{4}}\).
Wyznacz ten ciąg.

Odpowiedź do zadania :

\(\displaystyle{ (-3, -2, -1 \frac{1}{3})}\)

3.(Zadanie 4pkt. wer. podst.)

Sprawdź, czy liczby: \(\displaystyle{ \frac{1}{4}, \frac{2+ \sqrt{3}}{2}, \frac{2+ \sqrt{3} }{2- \sqrt{3} }}\) w [podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny.


Proszę o obrazową odpowiedź na te zadania, bo nie widzę sposobu, jak się do nich zabrać


Pzdr.

[sea_of_tears]

\(\displaystyle{ f(x)=3x-5 \newline
a)\newline
a_n=f(2n)=3\cdot 2n -5=6n-5\newline
\newline
b)\newline
r=a_{n+1}-a_n=f(2n+2)-f(2n)=3(2n+2)-5-[3\cdot 2n-5]=
6n+6-5-6n+5=6\newline
r=const.}\)
zatem ciąg jest arytmetyczny bo różnica jest stała i niezależna od n
\(\displaystyle{ c)
\newline\
a_{50}+a_{51}+...+a_{60}\newline
S_{11}=\frac{a_{50}+a_{60}}{2}\cdot 11\newline
a_{50}=f(100)=3\cdot 100-5=300-5=295\newline
a_{60}=f(120)=3\cdot 120-5=360-5=355\newline
S_{11}=\frac{295+355}{2}\cdot 11=3575}\)

[ Dodano: 22 Grudnia 2008, 12:03 ]
zadanie 2
\(\displaystyle{ a,b,c}\) - ciąg geometryczny
\(\displaystyle{ b=a\cdot q\newline
c=a\cdot q^2\newline
\newline
a\cdot b\cdot c=-8\newline
a\cdot a\cdot q\cdot a\cdot q^2 = -8\newline
a^3\cdot q^3=-8 /\sqrt[3]{}\newline
aq=-2\newline
\newline
\frac{a}{c}=2\frac{1}{4}\newline
\frac{a}{aq^2}=\frac{9}{4}\newline
\frac{1}{q^2}=\frac{9}{4}\newline\
q^2=\frac{4}{9}\newline
q=\frac{2}{3} q=-\frac{2}{3}}\)
gdy
\(\displaystyle{ q=-\frac{2}{3} : \newline
aq=-2\newline
a\cdot (-\frac{2}{3})=-2\newline
a=3}\)
ale wtedy ciąg jest nie jest rosnący !!
gdy
\(\displaystyle{ q=\frac{2}{3}\newline
aq=-2\newline
a\cdot\frac{2}{3}=-2\newline
a=-3\newline
c=aq^2\newline
c=-3\cdot (\frac{2}{3})^2=-3\cdota \frac{4}{9}=-\frac{4}{3}=-1\frac{1}{3}}\)
zatem te wyrazy to \(\displaystyle{ -3,-2,-1\frac{1}{3}}\)

[ Dodano: 22 Grudnia 2008, 12:09 ]
trzy wyrazy a,b,c tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny, gdy :
\(\displaystyle{ a\cdot c=b^2}\)
zatem na naszych wyrazach możemy sprawdzić czy takie równanie zachodzi :
\(\displaystyle{ \frac{1}{4},\frac{1+\sqrt3}{2},\frac{2+\sqrt3}{2-\sqrt3}\newline
\newline
\frac{1}{4}\cdot \frac{2+\sqrt3}{2-\sqrt3}=(\frac{2+\sqrt3}{2})^2\newline
\frac{1}{4}\cdot \frac{(2+\sqrt3)(2+\sqrt3)}{(2-\sqrt3)(2+\sqrt3}=(\frac{2+\sqrt3}{2})^2
\newline
\frac{1}{4}\cdot \frac{(2+\sqrt3)^2}{4-3}=\frac{(2+\sqrt3)^2}{4} /\cdot 4\newline
(2+\sqrt3)^2=(2+\sqrt3)^2 \newline
1=1}\)
a to jest prawdziwe, zatem jest to ciąg geometryczny

[chomicek]

Dzięki za odpowiedź
Ale mam jeszcze 1 pytanie :

Skąd wynika zależność \(\displaystyle{ a c = b^{2}}\)

Szukałem w tablicach, ale nic takiego nie znalazłem przy ciągach


Pzdr.

[Sherlock]

Skąd wynika zależność \(\displaystyle{ a c = b^{2}}\)

ponieważ a, b i c to kolejne wyrazy ciągu geometrycznego
\(\displaystyle{ \frac{b}{a}= \frac{c}{b}}\)
\(\displaystyle{ a c = b^{2}}\)