Problem z podaniem wzoru i dowodu przez indukcje matematycza

[danielbtb]

Witam!

Oto zadanie: Podaj jawny wzór na Sn oraz udowodnij indukcyjnie jego poprawność

\(\displaystyle{ a_{n}=2a_{n-1}+a _{n-2}; a_{0}=0, a_{1}=1}\)

Doszedłem do tego, że wzór wyszedł mi w ten sposób:

\(\displaystyle{ S_{n}=n*1^{n}}\) i nie jestem pewien czy jest on do konca poprawny :/

założenie poczatkowe do tego wzoru obliczylem tak:
\(\displaystyle{ n_{0}=0}\)
\(\displaystyle{ S_{0}=0*1^{0}=0}\) ok

\(\displaystyle{ n_{1}=1}\)
\(\displaystyle{ S_{1}=1*1^{1}=1}\) ok

Teraz mam problem z dowodem tego wzoru, nie moge sie doliczyc przy indukcji prosze o pomoc.

Z góry dziękuje i pozdrawiam!
D.

[Jan Kraszewski]

A spróbowałeś obliczyć \(\displaystyle{ S_2}\)?

JK

[Qń]

\(\displaystyle{ a_{n}=2a_{n-1}+a _{n-2}; a_{0}=0, a_{1}=1}\)
Doszedłem do tego, że wzór wyszedł mi w ten sposób:
\(\displaystyle{ S_{n}=n*1^{n}}\) i nie jestem pewien czy jest on do konca poprawny :/

Nie jest poprawny (pomijając już niekonsekwencję nazewnictwa: \(\displaystyle{ a_n}\) czy \(\displaystyle{ S_n}\)).
Gdyby tam był minus zamiast plusa, to byłoby ok, bo wtedy równaniem charakterystycznym było \(\displaystyle{ x^2-2x+1=0}\), ale ponieważ ów plus nie chce być minusem, to równanie charakterystyczne to \(\displaystyle{ x^2-2x-1=0}\), zatem ogólny wyraz ciągu to \(\displaystyle{ a_n= A (1+\sqrt{2} )^n +B (1- \sqrt{2})^n}\), współczynniki można obliczyć przy pomocy warunków początkowych.

Q.