Jak przekształcić poniższe równanie żeby je scałkować?
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\alpha} \frac {d }{k_{1} C_{A0} (1- )^2 - k_{2} C_{A0} ^2}}\)
k1, k2 i CA0 stałe
Jak scałkować? rozkład na ułamki
-
soku11
- Użytkownik
- Posty: 6589
- Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 1823 razy
Jak scałkować? rozkład na ułamki
Jesli kompletnie nic o nich nie wiesz, to trzeba niestety rozwiazywac ja na kilka przypadkow. Najpierw drobne przeksztalcenia (oczywiscie najpierw calka nieoznaczona):
\(\displaystyle{ \alpha=x\\
C_{A0}=C\\
t \frac{\mbox{d}x}{k_1C(1-2x+x^2)-k_2Cx^2}=
\frac{1}{C} t \frac{\mbox{d}x}{x^2(k_1-k_2)-2k_1x+k_1}\\
x^2(k_1-k_2)-2k_1x+k_1\\
\Delta=4k_1^2-4k_1(k_1-k_2)=
4k_1^2-4k_1^2+4k_1k_2=4k_1k_2\\
\sqrt{\Delta}=2\sqrt{k_1k_2}\\}\)
Teraz mamy az 3 przypadki:
1. Delta wieksza od 0 - dwa miejsca zerowe. Tutaj trzeba rozlozyc calke na ulamki i bedzie tutaj sporo roboty.
2. Delta rowna 0 - jedno podwojne miejsce zerowe. Kiedy \(\displaystyle{ k_1=0k_2\neq 0\;\vee\;k_1\neq0 k_2=0}\). Tutaj wystarczy mianownik zapisac w postaci \(\displaystyle{ \(x-a)^2}\) i podstawic cos pod \(\displaystyle{ x-a}\).
3. Delta mniejsza od 0 - brak rozwiazan. Trzeba sprowadzic calke do postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{t^2+1}}\) i dalej rozwiazac.
Oczywiscie po tych obliczeniach trzeba jeszcze policzyc calki oznaczone, ale to juz nieco mniejszy problem. Mysle jednak, ze masz jakies zalozenia co do twoich stalych, bo tak to ogolnie sporo roboty jest Jak beda jakies problemy - pisz. Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ \alpha=x\\
C_{A0}=C\\
t \frac{\mbox{d}x}{k_1C(1-2x+x^2)-k_2Cx^2}=
\frac{1}{C} t \frac{\mbox{d}x}{x^2(k_1-k_2)-2k_1x+k_1}\\
x^2(k_1-k_2)-2k_1x+k_1\\
\Delta=4k_1^2-4k_1(k_1-k_2)=
4k_1^2-4k_1^2+4k_1k_2=4k_1k_2\\
\sqrt{\Delta}=2\sqrt{k_1k_2}\\}\)
Teraz mamy az 3 przypadki:
1. Delta wieksza od 0 - dwa miejsca zerowe. Tutaj trzeba rozlozyc calke na ulamki i bedzie tutaj sporo roboty.
2. Delta rowna 0 - jedno podwojne miejsce zerowe. Kiedy \(\displaystyle{ k_1=0k_2\neq 0\;\vee\;k_1\neq0 k_2=0}\). Tutaj wystarczy mianownik zapisac w postaci \(\displaystyle{ \(x-a)^2}\) i podstawic cos pod \(\displaystyle{ x-a}\).
3. Delta mniejsza od 0 - brak rozwiazan. Trzeba sprowadzic calke do postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{t^2+1}}\) i dalej rozwiazac.
Oczywiscie po tych obliczeniach trzeba jeszcze policzyc calki oznaczone, ale to juz nieco mniejszy problem. Mysle jednak, ze masz jakies zalozenia co do twoich stalych, bo tak to ogolnie sporo roboty jest Jak beda jakies problemy - pisz. Pozdrawiam.
-
Sowa
- Użytkownik
- Posty: 84
- Rejestracja: 9 lip 2006, o 23:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kowary / Wrocław
- Podziękował: 10 razy
Jak scałkować? rozkład na ułamki
Ok dzięki wielkie, delta będzie dodatnia bo stałe k są dodatnie wiec muszę nad tym pogrzebać. jakby co to dam znac
[ Dodano: 23 Grudnia 2008, 18:20 ]
Nie mogę sobie z tym poradzić jednak
obliczyłem pierwiastki, otrzymuję "ostatecznie":
\(\displaystyle{ \frac{1}{k_{1} - k_{2}} t_{0}^{a_{k}} \frac{da}{(a- \frac{k_{1}- \sqrt{k_{1}k_{2}}}{k_{1}-k_{2}})(a- \frac{k_{1}+ \sqrt{k_{1}k_{2}}}{k_{1}-k_{2}})}}\)
ale z rozłożeniem nie mogę sobie poradzić. Jeżeli chodzi o założenia dot. k1 i k2 to jedyne co to, że:
\(\displaystyle{ k_{1}(1-a)^2 = k_{2}a^2}\) gdy a = ak (ak mamy w górnej granicy całki) ale czy to nam coś da?
[ Dodano: 29 Grudnia 2008, 12:03 ]
Okazało się, że rzeczywiście trzeba z tymi stałymi pokombinować, żeby to sens miało. Eleganckie rozwiązanie wygląda tak:
\(\displaystyle{ t = \frac{\alpha _{e}^{2}}{kC_{A0}} t_{0}^{\alpha _{k}} \frac{d }{(\alpha _e - )(\alpha _e -(2\alpha _e - 1)\alpha)}}\)
dzięki za pomoc, punkt dla Ciebie
[ Dodano: 23 Grudnia 2008, 18:20 ]
Nie mogę sobie z tym poradzić jednak
obliczyłem pierwiastki, otrzymuję "ostatecznie":
\(\displaystyle{ \frac{1}{k_{1} - k_{2}} t_{0}^{a_{k}} \frac{da}{(a- \frac{k_{1}- \sqrt{k_{1}k_{2}}}{k_{1}-k_{2}})(a- \frac{k_{1}+ \sqrt{k_{1}k_{2}}}{k_{1}-k_{2}})}}\)
ale z rozłożeniem nie mogę sobie poradzić. Jeżeli chodzi o założenia dot. k1 i k2 to jedyne co to, że:
\(\displaystyle{ k_{1}(1-a)^2 = k_{2}a^2}\) gdy a = ak (ak mamy w górnej granicy całki) ale czy to nam coś da?
[ Dodano: 29 Grudnia 2008, 12:03 ]
Okazało się, że rzeczywiście trzeba z tymi stałymi pokombinować, żeby to sens miało. Eleganckie rozwiązanie wygląda tak:
\(\displaystyle{ t = \frac{\alpha _{e}^{2}}{kC_{A0}} t_{0}^{\alpha _{k}} \frac{d }{(\alpha _e - )(\alpha _e -(2\alpha _e - 1)\alpha)}}\)
dzięki za pomoc, punkt dla Ciebie