zamiana całki podwójnej na pojedyńczą

[klementa]

Za pomocą współrzędnych biegunowych zamienić całkę podwójną na pojedyńczą
\(\displaystyle{ \int_{G}^{} f( \sqrt{x^2 + y^2)}dxdy, G=\{|y| qslant |x|; |x| qslant 1 \}}\)

[soku11]

Nie za bardzo wiem, jakim cudem mozna zamienic taka calke podwojna na pojedyncza (przeciez calka pojedyncza sluzy do obliczania pol, a nie objetosci po danej funkcji tak jak tutaj...) Ja bym to rozwiazal tak:
\(\displaystyle{ \mathcal{I}=\iint_{G} f(\sqrt{x^2+y^2})\mbox{d}x\mbox{d}y=
4\iint_{D} f(\sqrt{x^2+y^2})\mbox{d}x\mbox{d}y\\
D:\;\begin{cases}
0\le x\le 1\\
0\le y\le x
\end{cases}\\
\begin{cases}
x=\rho\cos\varphi\\
y=\rho\sin\varphi\\
|J|=\rho
\end{cases}\\
\rho\sin\varphi\le \rho\cos\varphi\\
\sin\varphi\le\cos\varphi\\
\varphi\in\left[0;\frac{\pi}{4}\right]\\
\rho\cos\varphi\le 1\\
\rho\le \frac{1}{\cos\varphi}\\
\rho\in\left[0;\frac{1}{\cos\varphi}\right]\\
\mathcal{I}=
4\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\mbox{d}\varphi
t\limits_{0}^{\frac{1}{\cos\varphi}}\rho f(\rho)\mbox{d}\rho}\)

Wydaje mi sie, ze tak jest ok. Pozdrawiam.