prosta całka funkcji niewymiernej

[MasterPit]

Witam,
Mam do policzenia prosta całke. Niestety przy pomocy standardowego podstawienia staje sie ona bardzo zagmatwana obliczeniowo, dlatego chcialbym sie spytac, czy ktos ma jakis dobry na policzenie jej

\(\displaystyle{ \int \frac{x}{x-1} \sqrt{ \frac{x}{x-1} }dx}\)

tak jak mowilem, po podstawieniu\(\displaystyle{ \frac{x}{x-1} = t ^{2}}\)zadanie staje sie bardzo zlozone obliczeniowo.

Za wszelka pomoc z góry dziekuje.[/latex]

[Dedemonn]

Na podstawie jednego z przykładów z K&W:

Robimy podstawienie

\(\displaystyle{ \frac{x}{x-1} = t^2 \ \ \ \ \frac{t^2}{t^2-1} = x}\) ( nie mam pojęcia jak dokonać takiego przekształcenia)
\(\displaystyle{ dx = \frac{-2t}{(t^2-1)^2}}\)

Podstawiając:

\(\displaystyle{ \int \frac{x}{x-1} \sqrt{ \frac{x}{x-1} }dx = -2 t \frac{\frac{t^2}{t^2-1}}{\frac{t^2}{t^2-1}-1} \frac{t}{t^2-1} t\ dt = -2 t \frac{t^4}{t^2-1}}\)

Mam nadzieję, że to prawidłowe rozwiązanie.


Pozdrawiam.

[MasterPit]

uuu, wyglada mi na dobre. Czyli po odpowiednim przeksztalceniu warto jest podstawic:), robilem to podstawienie, ze jakis strasznie wielki wielomian mi wychodzil. Dzieki

[chris139]

\(\displaystyle{ \frac{x}{x-1} = t^2 \ \ \ \ \frac{t^2}{t^2-1} = x}\) ( nie mam pojęcia jak dokonać takiego przekształcenia)

A więc
\(\displaystyle{ t^2=\frac{x}{x-1}\\
t^2x-t^2=x\\
t^2=t^2x-x=x(t^2-1)\\
x=\frac{t^2}{t^2-1}}\)
Mam nadzieję że teraz każdy wie jak dokonac tego przeksztalcenia
Pozdro