Monotoniczność ciągu
-
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 9 lis 2008, o 12:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 1 raz
Monotoniczność ciągu
Zbadać monotoniczność ciągu: \(\displaystyle{ a_{n} = ft( 1+ \frac{1}{n} \right) ^{n+1}}\)
- Ateos
- Użytkownik
- Posty: 1100
- Rejestracja: 10 maja 2008, o 17:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Swarzędz
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 214 razy
Monotoniczność ciągu
\(\displaystyle{ a_{n} = ft( 1+ \frac{1}{n} \right) ^{n+1}= ft( 1+ \frac{1}{n} \right) ft( 1+ \frac{1}{n} \right)^n= ft( 1+ \frac{1}{n} \right) e}\)
\(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{n} \right) }\) malejaca
Funkcja jest ,malejaca w calej dziedzinie
\(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{n} \right) }\) malejaca
Funkcja jest ,malejaca w calej dziedzinie
-
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 9 lis 2008, o 12:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 1 raz
Monotoniczność ciągu
\(\displaystyle{ e = \lim_{n\to } ft(1 + \frac{1}{n} \right) ^{n}}\) a nie: \(\displaystyle{ e = ft(1 + \frac{1}{n} \right) ^{n}}\), zatem wskazane rozwiązanie nie jest prawidłowe. Chodzi mi o pokazanie tego, że jest to ciąg malejący poprzez zbadanie ilorazu: \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1} }{a_{n}}}\) lub różnicy: \(\displaystyle{ a _{n+1} - a _{n}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Monotoniczność ciągu
\(\displaystyle{ \frac{\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^n}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}}
=\frac{\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^n}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\left(1+\frac 1n\right)}=
\left(\frac{\left(1+\frac{1}{n-1}\right)}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}\right)^n\frac{1}{\left(1+\frac 1n\right)}=
\left(1+\frac{1}{n^2-1}\right)^n\frac{1}{\left(1+\frac 1n\right)}\ge}\)
(Nierownosc Bernoulliego)
\(\displaystyle{ \ge\frac{1+\frac{n}{n^2-1}}{1+\frac 1n}=\frac{n^3+n^2-n}{n^3+n^2-n-1}=1+\frac{1}{n^3+n^2-n-1}>1}\)
Ciag jest wiec malejacy.
=\frac{\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^n}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\left(1+\frac 1n\right)}=
\left(\frac{\left(1+\frac{1}{n-1}\right)}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}\right)^n\frac{1}{\left(1+\frac 1n\right)}=
\left(1+\frac{1}{n^2-1}\right)^n\frac{1}{\left(1+\frac 1n\right)}\ge}\)
(Nierownosc Bernoulliego)
\(\displaystyle{ \ge\frac{1+\frac{n}{n^2-1}}{1+\frac 1n}=\frac{n^3+n^2-n}{n^3+n^2-n-1}=1+\frac{1}{n^3+n^2-n-1}>1}\)
Ciag jest wiec malejacy.
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Monotoniczność ciągu
Można też np tak:
z nierówności między średnią harmoniczną a geometryczną zastosowaną do \(\displaystyle{ n+2}\) liczb dodatnich, z których \(\displaystyle{ n+1}\) jest równych \(\displaystyle{ 1 + \tfrac{1}{n}}\) a jedna jest równa \(\displaystyle{ 1}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 1 + \tfrac{1}{n+1} = \frac{n + 2}{(n+1)\cdot\frac{n}{n+1} + 1} < \sqrt[n+2]{\left(1 + \tfrac{1}{n}\right)^{n+1}\cdot 1}}\)
podnosząc stronami do potęgi o wykładniku \(\displaystyle{ n+2}\) otrzymujemy, że badany ciąg jest malejący.
z nierówności między średnią harmoniczną a geometryczną zastosowaną do \(\displaystyle{ n+2}\) liczb dodatnich, z których \(\displaystyle{ n+1}\) jest równych \(\displaystyle{ 1 + \tfrac{1}{n}}\) a jedna jest równa \(\displaystyle{ 1}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 1 + \tfrac{1}{n+1} = \frac{n + 2}{(n+1)\cdot\frac{n}{n+1} + 1} < \sqrt[n+2]{\left(1 + \tfrac{1}{n}\right)^{n+1}\cdot 1}}\)
podnosząc stronami do potęgi o wykładniku \(\displaystyle{ n+2}\) otrzymujemy, że badany ciąg jest malejący.
-
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 9 lis 2008, o 12:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 1 raz
Monotoniczność ciągu
xiikzodz - o to mi chodziło, tylko nie wpadłem, że zbadanie odwrotnego ilorazu umożliwi mi zastosowanie nierówności Bernoulliego, dzięki!
max - bardzo zgrabnie, ładnie i krótko, wielkie dzięki!
max - bardzo zgrabnie, ładnie i krótko, wielkie dzięki!