Rozłożyć funkcje wymierne na sumę ułamków prostych.

[raf123]

ot takie zadanko i nie mam pewności czy dobrze je robię...
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{x ^{3}-3x ^{2} +x }{(x-1) ^{2}(x ^{2} +1) ^{2} }}\)


\(\displaystyle{ \frac{A}{(x-1)}+ \frac{B}{(x-1) ^{2} } + \frac{C}{(x ^{2}+1) } + \frac{D}{(x ^{2} +1) ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ \frac{A(x-1) ^{2}(x ^{2}+1)(x ^{2} +1) ^{2}+B(x-1)(x ^{2} +1)(x ^{2} +1) ^{2} +C(x-1)(x-2) ^{2} (x ^{2}+1) ^{2} +D(x-1)(x-1) ^{2}(x ^{2}+1) }{(x-1)(x ^{2}+ 1) ^{2} }}\)

Dobrze jest to rozwinięte , bo nie mam pewności czy kontynuować...?

[anna_]

ot takie zadanko i nie mam pewności czy dobrze je robię...
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{x ^{3}-3x ^{2} +x }{(x-1) ^{2}(x ^{2} +1) ^{2} }}\)


\(\displaystyle{ \frac{A}{(x-1)}+ \frac{B}{(x-1) ^{2} } + \frac{C}{(x ^{2}+1) } + \frac{D}{(x ^{2} +1) ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ \frac{A(x-1) ^{2}(x ^{2}+1)(x ^{2} +1) ^{2}+B(x-1)(x ^{2} +1)(x ^{2} +1) ^{2} +C(x-1)(x-2) ^{2} (x ^{2}+1) ^{2} +D(x-1)(x-1) ^{2}(x ^{2}+1) }{(x-1)(x ^{2}+ 1) ^{2} }}\)

Dobrze jest to rozwinięte , bo nie mam pewności czy kontynuować...?

Wspólnym mianownikiem będzie
\(\displaystyle{ {(x-1)^2(x ^{2}+ 1) ^{2} }}\)
a nie
\(\displaystyle{ {(x-1)(x ^{2}+ 1) ^{2} }}\)

[raf123]

tak , wiem zapomniałem dopisać potęgi...

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{x ^{3}-3x ^{2} +x }{(x-1) ^{2}(x ^{2} +1) ^{2} }}\)


\(\displaystyle{ \frac{A}{(x-1)}+ \frac{B}{(x-1) ^{2} } + \frac{C}{(x ^{2}+1) } + \frac{D}{(x ^{2} +1) ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ \frac{A(x-1) ^{2}(x ^{2}+1)(x ^{2} +1) ^{2}+B(x-1)(x ^{2} +1)(x ^{2} +1) ^{2} +C(x-1)(x-2) ^{2} (x ^{2}+1) ^{2} +D(x-1)(x-1) ^{2}(x ^{2}+1) }{(x-1) ^{2} (x ^{2}+ 1) ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ \frac{A(x-1)(x ^{5}+3x ^{4}+3x ^{2} +1) + B(x-1)(x ^{5} +3x ^{4}+3x ^{2} +1) +C(x ^{3}-3x ^{2} +3x -1)(x ^{4} +2x ^{2} +1)+D(x ^{3} -3x ^{2}+3x-1)(x ^{2} +1) }{(x-1) ^{2} (x ^{2}+ 1) ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ Ax ^{7} +Ax ^{6} - 7Ax ^{5} - 6Ax ^{3} + 2Ax ^{2} - 2Ax -A +Bx ^{6} +2Bx ^{5} -3Bx ^ {4} +3Bx ^ {3} - 3Bx ^ {2} + Bx -B +Cx ^ {7} -3Cx ^ {6} + 5Cx ^ {5} -7Cx ^ {4} + 7Cx ^ {3} - 5Cx ^ {2} + 3Cx - C + Dx ^ {5}- 3Dx ^ {4} +4Dx ^ {3} +2Dx ^ {2} +3Dx -D}\)


0 = A +C
0 = A +B - 3C
0 = -7A +2B + 5C+D
0 = -3B - 7C - 3D
1 = -6A + 3B + 7C + 4D
-3 = 2A - 3B - 5C +2D
1 = -2A + B +3C +3D
0 = -A -B - C -D

I co z tym dalej zrobić?

[anna_]

Najpierw w miejsce x podstaw pierwiastek mianownika.
czyli x=1.
Coś Ci tam powinno się wyliczyć.

Kurcze, tego jednak nie jestem pewna.
Mozna tak było robić przy całkach, ale nie wiem czy tu tez tak sie da.
A niech to skasowałam posta, zamiast go zacytować

[raf123]

teraz to już nic nie wiem ;/ Ale te moje dywagacje są napewno złe.

Możesz mi wytłumaczyć jak sprowadzać licznik ?

OK już załapałem jak rozwijać licznik

Ale możesz mi wytłumaczyć , bo mam taki przykład i nie wiem dlaczego w liczniku tam jest x.

\(\displaystyle{ \frac{x ^{2}+3 }{(x ^{2} -x+1) ^{2} } = \frac{Ax+B}{(x ^{2} -x +1)} + \frac{Cx+D}{(x ^{2}-x+1) ^{2} }}\)
Dlaczego tam jest x obok A i C w licznikach?

[anna_]

W mianowniku, pod tymi ułamkami po prawej stronie, masz funkcję kwadratową, której nie da się rozłożyć na czynniki pierwsze. Wtedy licznik musi być funkcją liniową.

Właśnie dlatego wydaje mi się, że w poprzednim przykładzie, też zamiast C powinno być Cx+D a zamiast D powinno być Ex+F

[raf123]

Tak masz racje w pierwszym przykładzie musi być w liczniku Cx + D i Ex + F , właśnie zauważyłem analogie pomiędzy innymi przykładami w zeszycie.

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{5x}{(x+1)(x+2) ^{2}(x ^{2}+3) }}\)

\(\displaystyle{ \frac{A}{(x+1)} + \frac{B}{(x+2)} + \frac{C}{(x+2) ^{2}} + \frac{Dx+E}{(x ^{2} +3)}}\)

\(\displaystyle{ \frac{A(x+2) ^{2}(x ^{2}+3)+B(x+1)(x+2)(x ^{2} +3)+C(x+1)(x ^{2} +3)+(Dx + E)(x+1)(x+2) ^{2} }{(x+1)(x+2) ^{2} (x ^{2} +3)}}\)

Dobrze to zrobiłem ?

[anna_]

Tym razem dobrze.

[raf123]

Jeszcze mam jedno zadanie z tej serii.

Doszedłem do tego momentu i nie wiem jak dalej.

\(\displaystyle{ F(x) = \frac{2j}{(z-j)^{2}z(z+j)^{2}} =}\)

\(\displaystyle{ \frac{A}{z-j}+ \frac{B}{(z-j)^{2}}+ \frac{C}{z}+ \frac{D}{z+j}+ \frac{E}{(z+j)^{2}}}\)

\(\displaystyle{ \frac{A(z-j)z(z+j)^{2}+Bz(z+j)^{2}+C(2+j)^{2}(z-j)^{2}+D(z+j)z(z-j)^{2}+E(z-j)^{2}z}{(z-j)^{2}z(z+j)^{2}}}\)

[anna_]

To chyba liczby zespolone.
W tym Ci niestety nie pomogę. Może załóż nowy temat?

[ Dodano: 18 Grudnia 2008, 20:23 ]
Nie jestem pewna czy czasem i w zespolonych zamiast E nie powinno być Ez+F