badanie zmienności przebiegu funkcji

[zelig88]

mam głupie nie cierpiące zwłoki zadanie, jeśli jakiś dobry człek mógłby pomóc to byłoby fajnie:

y= \(\displaystyle{ \frac{1}{e^x-1}}\)

1. dziedzina
2. zbiór wartości
3. msc. zerowe
4. pochodna
5. ekstremum

pomóżcie matematyczne megamózgi

[Crizz]

1.) Dziedzina: \(\displaystyle{ e^{x}-1 \neq 0}\), czyli \(\displaystyle{ x \neq 0}\)
2.) Zbiór wartości: równanie \(\displaystyle{ \frac{1}{e^{x}-1}=a}\) ma rozwiązanie \(\displaystyle{ x=ln(\frac{1}{a}+1)}\), skąd \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+1>0, \frac{a+1}{a}>0,a(a+1)>0,a (-\infty,-1) \cup (0,+\infty)}\)
Ostatecznie \(\displaystyle{ im(f)=(-\infty,-1) \cup (0,+\infty)}\)
3.) Nie ma miejsc zerowych, skoro \(\displaystyle{ 0 im(f)}\)
4.) Pochodna ze wzoru na pochodną funkcji złożonej:
\(\displaystyle{ f'(x)=-\frac{e^{x}}{(e^{x}-1)^{2}}}\)
5.) Nie ma ekstremów, bo pochodna nigdy się nie zeruje (licznik wyrażenia \(\displaystyle{ -\frac{e^{x}}{(e^{x}-1)^{2}}}\) zawsze jest dodatni)

[zelig88]

wielkie dzięki Crizz za pomoc.

a byłby ktoś w stanie zbadać/obliczyć:

6) pochodną drugiego rzędu
7) granice
8) asymptoty

9) monotoniczność
10) okresowość
11) parzystość/nieparzystość

uwierzcie, to sprawa życia i śmierci

[ Dodano: 17 Grudnia 2008, 10:44 ]
proszę Was dobrzy ludzie, pomóżcie - to zadanie jest mi potrzebne na 13 00! :/

[pan_ciastko]

Mam pytanie do wyznaczania zbioru wartości. Jaki jest związek między \(\displaystyle{ e^{x}}\) a \(\displaystyle{ ln}\)? Zastanawiam się co to za manewr tam był zrobiony. Wiem że \(\displaystyle{ lne}\) to \(\displaystyle{ ln_{e}e}\) ale jak się to odwraca jęsli x jest w wykładniku??? Jestem ciekawa, prosze o wyjaśnienie.

[Crizz]

Ze wzoru na logarytm potęgi ( \(\displaystyle{ log_{a}b^{c}=c\cdot log_{a}b}\)):
skoro \(\displaystyle{ e^{x}=\frac{1}{a}+1}\), to logarytmując obie strony, otrzymujemy \(\displaystyle{ x \cdot lne=ln(\frac{1}{a}+1)}\).