[Analiza] suma szeregu

[robin5hood]

Obliczyć sumę szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin\frac{\pi}{3^n}}{\sin\frac{\pi}{2^n}}}\)

[Grzegorz t]

\(\displaystyle{ \begin{cases}sin\frac{\pi}{3^n} \leqslant \frac{\pi}{3^n}\\sin\frac{\pi}{2^n} \leqslant \frac{\pi}{2^n}\end{cases}}\) są spełnione, gdy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{sin\frac{\pi}{3^n}}{sin\frac{\pi}{2^n}}= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\frac{\pi}{3^n}}{\frac{\pi}{2^n}}= \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{2}{3})^n=2}\)

[przemk20]

nie sadze zeby tak bylo..., przeciesz sumujesz od n=1 a nie od \(\displaystyle{ n=\infty}\)

[Grzegorz t]

Będzie taka suma, bo można to wykazać z twierdzenia o trzech ciągach c.d.n

[ Dodano: 22 Września 2008, 08:39 ]
\(\displaystyle{ \sin n \geqslant \frac{2}{\pi}\cdot n, \sin n \leqslant n, n \in (0, \frac{\pi}{2})**}\)

\(\displaystyle{ \frac{\frac{2}{\pi}\cdot \frac{\pi}{3}}{\frac{2}{\pi}\cdot \frac{\pi}{2}}+... \leqslant S \leqslant \frac{\frac{\pi}{3}}{\frac{\pi}{2}}+...}\) Nie chcę już tego rozpisywać, ale każdy wyraz szeregu spełnia te nierówności \(\displaystyle{ **}\). Czy ma ktoś może odpowiedź do tego zadania?

[przemk20]

nie wydaje mi sie bo jesli masz
\(\displaystyle{ x \frac{2}{\pi} < \sin x < x \Rightarrow \\
\frac{2}{3} < \sin \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{3} \\
\frac{2}{\pi}< \frac{1}{\sin \frac{\pi}{2} } < 1 \Rightarrow \\
\frac{4}{3 \pi } < \frac{\sin \frac{\pi}{3}}{\sin \frac{\pi}{2} } < \frac{\pi}{3} \\
\frac{4}{ \pi } < S}\)

[Wasilewski]

Już pierwsze dwadzieścia wyrazów daje prawie 2,25 (i taka pewnie będzie suma, bo już wyrazy są bardzo bliskie zera).

[Sir George]

Hmmm, Mathematica podaje jak sumę (przy sumowaniu ponad 150 wyrazów) 2,2471481860358501745618008598817468414100...
Nie wydaje mi się, żeby było to sensownie z czymkolwiek powiązane, więc raczej nie ma co liczyć na "rozsądne" rozwiązanie analityczne.
Również wydaje mi się, że w zadaniu chodziło raczej o uzasadnienie zbieżności szeregu niż o konkretną wartość sumy...

Pozdrawiam,

[przemk20]

mozna by np probowac jakos tak,
sprobojmy sopbie utozsamic nasz szereg z pewnym szeregiem Fouriera, o wspolczynnikach \(\displaystyle{ \frac{1}{\sin \frac{\pi}{2^k}}}\)
kladac
\(\displaystyle{ u= \frac{\pi}{3^k}
\pi 2^{-k} = u 2^{\log_3 2} = u b, \ 0< u < \pi \\}\)
wezmy sobie teraz funkcje f taka ze:
\(\displaystyle{ \hat{f} (u) = \sin (ub)}\)
pozostaje znalezc transformate odwrotna do \(\displaystyle{ \sin (ub)}\) z czym mam narazie klopot
no i \(\displaystyle{ \Im f(1)}\) byloby poszukiwana wartoscia, tylko czy czy ten szereg bylby zbiezny do f(1)