Równianie z wart. bezwzględną - alternatywna metoda

Xander · Post autor: **Xander** » 15 gru 2008, o 18:39

Ostatnio na lekcji matematyczka omawiała rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną korzystając z poniższej własności:

\(\displaystyle{ \left| x\right| =a \Leftrightarrow x=a \ \vee \ x=-a}\)

Później jednak zaczęła wyjaśniać rozwiązywanie równań, gdzie prawa strona także jest wyrażeniem algebraicznym. Tutaj usłyszałem niezrozumiałe dla mnie słowa, że tutaj MUSIMY korzystać bezpośrednio z definicji wartości bezwzględnej, a poprzednią metodą rozwiązywać NIE WOLNO, jest to błędne, niezgodne z logicznym matematycznym myśleniem itd. Jednak moim zdaniem ta "moja" alternatywna metoda jest zupełnie poprawna - choć może nieco dłuższa. Poniżej przedstawiam banalny przykład rozwiązany tą metodą (tzn. korzystając z powyższej własności). Czy ktoś bardziej obeznany z matematyką może mi wyjaśnić, czemu jest ona "niezgodna z logicznym myśleniem" ? A może to nauczyciel wprowadza mnie w błąd?

\(\displaystyle{ \left| x - 2 \right| = 2 -x \\ \\
\left| x - 2 \right| = 2 -x \Leftrightarrow x - 2 = 2 - x \ \vee \ x - 2 = -(2-x) \\
x - 2 = 2-x \ \vee \ x-2=x-2 \\
x = 2 \ \vee \ x \in \Re \Rightarrow x \in \Re \\}\)

Pozostaje jedno "ale" - wartość bezwzględna nie może być liczbą ujemną, dlatego prawa strona wyrażenia musi być większa od zera.

\(\displaystyle{ Twierdzenie: \ \bigwedge\limits_{a\in R} \left| a \right| \geqslant 0 \\
2 - x \geqslant 0 \\
x \leqslant 2 \\}\)

Pozostaje nam "połączyć" warunki:

\(\displaystyle{ x \in \Re \ \wedge \ x \leqslant 2 \Rightarrow x \in \left(-\infty,2 \right>}\)

Ptaq666 · Post autor: **Ptaq666** » 15 gru 2008, o 18:50

Twoje rozwiązanie to właśnie rozpatrzenie tego problemu z definicji. Brakuje ci tylko 2 założeń.

\(\displaystyle{ 1. \\dla \ \ x-2 qslant 0 x-2 = 2-x \\ 2. \\ dla \ \ x-2 < 0 x-2 = x-2}\)

Drugie założenie jest równoważne z tym twoim pod koniec, tyle że w tym co napisałem zanim przystąpisz do rozwiązania określasz dziedzinę, w której spodziewasz się dane rozwiązanie znaleźć.

smigol · Post autor: **smigol** » 15 gru 2008, o 18:50

Nie wiem czy jestem bardziej obeznany z matematyką, ale wydaje mi się, że Twoja metoda jest poprawna.
Tylko zasadnicze pytanie. Po co rozpisywać taki przykład metodą 5 razy dłuższą?
Lepiej jest się odwołać do definicji wartości bezwzględnej, która mówi, że wartość bezwzględna jest zawsze nieujemna.
I wtedy mamy, 3 ostatnie linijki Twojego rozwiązania:
2-x >= 0
z czego wynika, że
x =< 0
i od razu zapisujemy przedział do jakiego należy x.
I koniec rozwiązania.

Xander · Post autor: **Xander** » 15 gru 2008, o 19:08

Dziękuję bardzo za szybkie wyjaśnienie. Faktycznie, w tym konkretnym przypadku powyższa metoda zapisu jest dużo dłuższa - ale i równania użyłem najprostszego jakie może być. Mi osobiście po prostu jest wygodniej np. przy bardziej złożonych równaniach gdzie np. wyrażenie z wart. bezwzględną jest umieszczone w kolejnym wyrażeniu z wart.bezwzględną itd. korzystać cały czas z tego jednego schematu.
Oczywiście równania tego typu co powyżej będę rozwiązywał tak jak podali Smigol i Ptaq666. Nie chodziło mi o zaproponowanie bardziej wydajnego schematu - po prostu nauczyciel wskazał ten zapis jako "ewidentnie zły" a nie "mało optymalny" i obawiałem się jakiejś "elementarnej ślepoty matematycznej" u mnie.