Udowodnić, że szereg jest rozbieżny

Luxy · Post autor: **Luxy** » 15 gru 2008, o 18:03

Wiedząc, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to } n a_{n} = a 0}\), wykazać, iż szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } a _{n}}\) jest rozbieżny.

Wasilewski · Post autor: **Wasilewski** » 15 gru 2008, o 18:21

Skorzystaj z kryterium ilorazowego, porównaj dany szereg z rozbieżnym szeregiem harmonicznym.

Luxy · Post autor: **Luxy** » 15 gru 2008, o 18:41

Ale w tym kryterium granica ilorazu ma być większa od 0, a tutaj wiemy jedynie, że jest różne od 0

Wasilewski · Post autor: **Wasilewski** » 15 gru 2008, o 18:50

Skoro granica jest różna od zera, to albo od pewnego momentu wyrazy ciągu \(\displaystyle{ a_{n}}\) są wszystkie dodatnie, albo wszystkie ujemne (bierzemy w definicji granicy taki \(\displaystyle{ \varepsilon}\), by w tym otoczeniu granicy były jedynie liczby jednego znaku). Zatem odrzucając pierwsze \(\displaystyle{ n_{0}}\) wyrazów (co nie wpływa na zbieżność szeregu) dostajemy szereg o wyrazach stałego znaku. Jeśli wyrazy te będą dodatnie, to w porządku, a jeśli nie to rozważamy szereg \(\displaystyle{ \sum_{n_{0}}^{\infty} (-a_{n})}\) i on będzie rozbieżny do \(\displaystyle{ +\infty}\), z czego będzie wynikała rozbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n_{0}}^{\infty} a_{n}}\) do \(\displaystyle{ -\infty}\).