Udowodnic ze podany ciag jest rosnacy

[goldenka]

Udowodnić indukcyjnie że podany ciąg zadany rekurencyjnie jest rosnący:
\(\displaystyle{ x_1=1, \ x_{n+1}=1+ \sqrt{x_n+5}}\)

Wiem jakie jest założenie i teza tzn.
1) Założenie \(\displaystyle{ x_{n+1}>x_{n}}\)
2) Teza \(\displaystyle{ x_{n+2}>x_{n+1}}\)

Ale nijak nie mogę dojść do końca dowodu.
Dziękuję z góry za pomoc:)

[Qń]

Z uwagi na to, że w oczywisty sposób wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie (więc można pierwiastkować do woli), założenie jest równoważne kolejno:
\(\displaystyle{ x_{n+1} + 5 > x_n + 5 \\
\sqrt{x_{n+1} + 5} > \sqrt{x_n + 5} \\
1+ \sqrt{x_{n+1} + 5} > 1+ \sqrt{x_n + 5} \\
x_{n+2} > x_{n+1}}\)
więc w szczególności z założenia wynika teza.

Q.

[goldenka]

Sprytnie;) Punkt dla ciebie:)