wykazac zbieznosc szeregu
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 11 lis 2008, o 09:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznan
- Podziękował: 1 raz
wykazac zbieznosc szeregu
Hej,
mam problem z zadaniem:
nalezy wykazac zbieznosc szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{sin n x}{n}}\)
Pozdrawiam
mam problem z zadaniem:
nalezy wykazac zbieznosc szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{sin n x}{n}}\)
Pozdrawiam
-
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
wykazac zbieznosc szeregu
Najpierw pokaż, że ciąg sum częściowych szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} sin(nx)}\)
jest ograniczony.
A wtedy zbieżność szeregu wynika z kryterium Dirichleta.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} sin(nx)}\)
jest ograniczony.
A wtedy zbieżność szeregu wynika z kryterium Dirichleta.
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 11 lis 2008, o 09:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznan
- Podziękował: 1 raz
wykazac zbieznosc szeregu
hm... no tak, moze sie zle wyrazilem... Do tego tez doszedlem, ale porzucilem, bo ni potrafilem wykazac tego z tymi sumami czesciowymi...
Pzdr.
Pzdr.
-
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
wykazac zbieznosc szeregu
A umiesz wyprowadzić wzór na taką sumę:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{M} sin(nx)}\)
?
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{M} sin(nx)}\)
?
-
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
wykazac zbieznosc szeregu
Nie, chodzi mi o taki sposób:
\(\displaystyle{ sin(nx) = Im (e^{inx})}\)
Jako że część urojona sumy liczb zespolonych jest równa sumie części urojonych tych liczb, to mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{M} sin(nx) = Im\left( \sum_{n=1}^{M} e^{inx}\right)}\)
Policzysz sumę tego ciągu geometrycznego z prawej strony, potem wyznaczysz część urojoną i otrzymasz wzór na sumę sinusów.
\(\displaystyle{ sin(nx) = Im (e^{inx})}\)
Jako że część urojona sumy liczb zespolonych jest równa sumie części urojonych tych liczb, to mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{M} sin(nx) = Im\left( \sum_{n=1}^{M} e^{inx}\right)}\)
Policzysz sumę tego ciągu geometrycznego z prawej strony, potem wyznaczysz część urojoną i otrzymasz wzór na sumę sinusów.
-
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy