przestrzenie zwarte

[gdorota1]

Jeżeli \(\displaystyle{ Y}\) jest przestrzenią zwartą to przekształcenie \(\displaystyle{ f:X Y}\) jest ciągłe wtedy i tylko wtedy gdy wykres \(\displaystyle{ W_f X\times Y}\) jest domknięty w \(\displaystyle{ X\times Y}\)

[Parton]

W zadaniu wystarczy, żeby Y było przestrzenią Hausdorffa. Teraz, jeżeli w definicji zwartości jest \(\displaystyle{ T_2}\) to teza jest prawdziwa, a jeśli nie to nie jest.

Kontrprzykład: X jest odcinkiem (0,1) z topologią euklidesową. Y jest odcinkiem (0,1) z topologią antydyskretną. f(x) = x. Wtedy funkcja jest ciągła, zaś wykres nie jest domknięty.

No a jeśli Y jest Hausdorffa to dosyć łatwo skonstruować otoczenie punktu spoza wykresu rozłączne z wykresem.

[mol_ksiazkowy]

Quote:

Teraz, jeżeli w definicji zwartości jest T2 to teza jest prawdziwa, a jeśli nie to nie jest.

Jesli sie nie zaklada T2, to wtedy mowa o przestrzeniach quasi -zwartych,