Okrąg wpisany i opisany na trójkącie - odległość śro
- Tomasz Rużycki
- Użytkownik
- Posty: 2970
- Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 293 razy
Okrąg wpisany i opisany na trójkącie - odległość śro
Dany jest promień \(\displaystyle{ R}\) okręgu opisanego na trójkącie i promień \(\displaystyle{ r}\) okręgu wpisanego w trójkąt. Obliczyć odległość środków okręgów.
Zadanie rozwiązane, ale... chciałbym zobaczyć 'czysto syntetyczne' rozwiązanie:) Z góry dziękuję.
Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki
Zadanie rozwiązane, ale... chciałbym zobaczyć 'czysto syntetyczne' rozwiązanie:) Z góry dziękuję.
Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki
- g
- Użytkownik
- Posty: 1552
- Rejestracja: 21 sie 2004, o 16:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 59 razy
Okrąg wpisany i opisany na trójkącie - odległość śro
to znaczy nieanalityczne.
kombinuj z inwersja i Feuerbachem.
kombinuj z inwersja i Feuerbachem.
- Mersenne
- Użytkownik
- Posty: 1010
- Rejestracja: 27 cze 2005, o 23:52
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Bytom/Katowice
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 303 razy
Okrąg wpisany i opisany na trójkącie - odległość śro
Witam,
Tak naprawdę zadanie nie ma rozwiązania. W treści nie podano, jaki trójkąt rozpatrujemy.
Oznaczenia:
\(\displaystyle{ o(A,R)}\) - okrąg opisany na trójkącie o środku A i promieniu R
\(\displaystyle{ o(B,r)}\) - okrąg wpisany w trójkąt o środku B i promienu r
\(\displaystyle{ | AB |}\) - odległość środków okręgów
Jeżeli weźmiemy trójkąt równoboczny, wtedy otrzymamy okręgi rozłączne współśrodkowe: \(\displaystyle{ o(A,R)\cap o(B,r)=\emptyset}\) , środek okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na trójkącie równobocznym , stąd \(\displaystyle{ | AB |=0}\) ( oczywiście \(\displaystyle{ r\neq R}\) ). Natomiast jeżeli rozpatrujemy trójkąt prostokątny, wtedy otrzymamy okręgi rozłączne wewnętrznie:\(\displaystyle{ o(A,R)\cap o(B,r)=\emptyset}\) ; środek okręgu opisanego leży wówczas na środku przeciwprostokątnej, a środek okręgu wpisanego leży wewnątrz trójkąta, stąd \(\displaystyle{ 0}\)
Tak naprawdę zadanie nie ma rozwiązania. W treści nie podano, jaki trójkąt rozpatrujemy.
Oznaczenia:
\(\displaystyle{ o(A,R)}\) - okrąg opisany na trójkącie o środku A i promieniu R
\(\displaystyle{ o(B,r)}\) - okrąg wpisany w trójkąt o środku B i promienu r
\(\displaystyle{ | AB |}\) - odległość środków okręgów
Jeżeli weźmiemy trójkąt równoboczny, wtedy otrzymamy okręgi rozłączne współśrodkowe: \(\displaystyle{ o(A,R)\cap o(B,r)=\emptyset}\) , środek okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na trójkącie równobocznym , stąd \(\displaystyle{ | AB |=0}\) ( oczywiście \(\displaystyle{ r\neq R}\) ). Natomiast jeżeli rozpatrujemy trójkąt prostokątny, wtedy otrzymamy okręgi rozłączne wewnętrznie:\(\displaystyle{ o(A,R)\cap o(B,r)=\emptyset}\) ; środek okręgu opisanego leży wówczas na środku przeciwprostokątnej, a środek okręgu wpisanego leży wewnątrz trójkąta, stąd \(\displaystyle{ 0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 852
- Rejestracja: 23 paź 2004, o 10:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Pomógł: 28 razy
Okrąg wpisany i opisany na trójkącie - odległość śro
skoro Tomasz Rużycki napisal ze ma rozwiazanie tzn ze da sie je rozwiazac w takim brzmieniu jakie podal
-
- Użytkownik
- Posty: 1146
- Rejestracja: 18 maja 2004, o 22:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 18 razy
Okrąg wpisany i opisany na trójkącie - odległość śro
Zadanie ma rozwiązanie, są wzory Eulera:
\(\displaystyle{ \rho}\) to odległość środków okręgów
\(\displaystyle{ \rho=\sqrt{R^2-2Rr}}\)
\(\displaystyle{ {1 \over R-\rho}+{1 \over R+\rho}={1 \over r}}\)
\(\displaystyle{ \rho}\) to odległość środków okręgów
\(\displaystyle{ \rho=\sqrt{R^2-2Rr}}\)
\(\displaystyle{ {1 \over R-\rho}+{1 \over R+\rho}={1 \over r}}\)
- g
- Użytkownik
- Posty: 1552
- Rejestracja: 21 sie 2004, o 16:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 59 razy
Okrąg wpisany i opisany na trójkącie - odległość śro
faktycznie, racja promienie wpisanego i opisanego nie definiuja trojkata. trojkat musi byc dany. no ale wiadomo o co chodzi, na pewno jest tylko tomkowi umkneloMersenne pisze:Tak naprawdę zadanie nie ma rozwiązania. W treści nie podano, jaki trójkąt rozpatrujemy.
-
- Użytkownik
- Posty: 1330
- Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów
- Pomógł: 104 razy
Okrąg wpisany i opisany na trójkącie - odległość śro
A mozecie dac jakis przyklad na to, ze nie definiuja? Bo ja tego nie widze:P
- Tomasz Rużycki
- Użytkownik
- Posty: 2970
- Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 293 razy
Okrąg wpisany i opisany na trójkącie - odległość śro
W rozwiązaniu, które posiadam korzysta się z definicji momentu bezwładności/twierdzenia Jaccobiego/twierdzenia Lagrange'a & ze wzorów na pole trojkąta - po drodze 'nie zwraca się uwagi' na to, jaki trójkąt rozpatrujemy:)
Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki
Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki
Okrąg wpisany i opisany na trójkącie - odległość śro
nawet jesli trojkat nie jest jednoznacznie wyznaczony to jednoznacznie wyznaczona jest ta odleglosc... co w wynika z kazdego rozwiazania problemu.
-
- Użytkownik
- Posty: 545
- Rejestracja: 1 wrz 2004, o 22:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 53 razy
Okrąg wpisany i opisany na trójkącie - odległość śro
To że promienie okręgów nie definiują jednoznacznie trójkąta, można sprawdzić przy pomocy
programu Niezbędnik .
Po wpisaniu
\(\displaystyle{ R\,=\, 10 \, \, r\,=\,2 \,\, c \,=\, 12}\)
i kliknięcu "Obliczenia", mamy
Natomiast dla tych samych promieni, boku np. c = 13 , otrzymujemy
[url=http://www.ghnet.pl/~wzygm/rysunki/odl_srod3.gif]trójkąt 2[/url]
jak widać, zupełnie inne wartości boków i kątów.
programu Niezbędnik .
Po wpisaniu
\(\displaystyle{ R\,=\, 10 \, \, r\,=\,2 \,\, c \,=\, 12}\)
i kliknięcu "Obliczenia", mamy
Natomiast dla tych samych promieni, boku np. c = 13 , otrzymujemy
[url=http://www.ghnet.pl/~wzygm/rysunki/odl_srod3.gif]trójkąt 2[/url]
jak widać, zupełnie inne wartości boków i kątów.
Ostatnio zmieniony 14 lip 2005, o 18:20 przez W_Zygmunt, łącznie zmieniany 3 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 1330
- Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów
- Pomógł: 104 razy
Okrąg wpisany i opisany na trójkącie - odległość śro
Dziękuję;) Zupełnie nie mam wyobraźni do geometrii:)
- Mersenne
- Użytkownik
- Posty: 1010
- Rejestracja: 27 cze 2005, o 23:52
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Bytom/Katowice
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 303 razy
Okrąg wpisany i opisany na trójkącie - odległość śro
Witam ponownie,
Zgadzam się z użytkownikami, którzy napisali, iż promienie okręgów nie definiują jednoznacznie trójkąta.
P.S.Tomek przeczytaj mój pierwszy post i udowodnij słuszność swojego rozumowania. Proszę o dowody.
Zgadzam się z użytkownikami, którzy napisali, iż promienie okręgów nie definiują jednoznacznie trójkąta.
P.S.Tomek przeczytaj mój pierwszy post i udowodnij słuszność swojego rozumowania. Proszę o dowody.
- Tomasz Rużycki
- Użytkownik
- Posty: 2970
- Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 293 razy
Okrąg wpisany i opisany na trójkącie - odległość śro
Jak już ktoś wyżej napisał, to, że owe promienie nie określają jednoznacznie trójkąta nie wyklucza tego, że szukana odległość jest uzależniona właśnie od nich:)
Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki
Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki
-
- Użytkownik
- Posty: 545
- Rejestracja: 1 wrz 2004, o 22:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 53 razy
Okrąg wpisany i opisany na trójkącie - odległość śro
Przykro mi Mersenne,ale nie masz racji.
Stosunek promieni w trójkącie równobocznym jest zawsze
\(\displaystyle{ \frac{r}{R}\,=\,\frac{1}{2}}\)
Tymczasem, nie da się zbudować trójkąta prostokątnego o takim stosunku promieni.
Co najwyżej (w trójkącie równoramiennym) może być
\(\displaystyle{ \frac{r}{R}\,=\,\frac{1}{ \sqrt{ 2 } + 1 } \,=\, 0.4142135620}\)
Co więcej, mimo niejednoznaczności co do trójkątów, istnieje jednoznaczność
jeśli chodzi o odległość środków.
Intryguje mnie ten dowód "syntetyczny".
Stosunek promieni w trójkącie równobocznym jest zawsze
\(\displaystyle{ \frac{r}{R}\,=\,\frac{1}{2}}\)
Tymczasem, nie da się zbudować trójkąta prostokątnego o takim stosunku promieni.
Co najwyżej (w trójkącie równoramiennym) może być
\(\displaystyle{ \frac{r}{R}\,=\,\frac{1}{ \sqrt{ 2 } + 1 } \,=\, 0.4142135620}\)
Co więcej, mimo niejednoznaczności co do trójkątów, istnieje jednoznaczność
jeśli chodzi o odległość środków.
Intryguje mnie ten dowód "syntetyczny".