Czy podzbiór jest podprzestrzenią liniową ?? (suma wektorów)
-
- Użytkownik
- Posty: 232
- Rejestracja: 8 paź 2006, o 16:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wawa
- Podziękował: 121 razy
- Pomógł: 1 raz
Czy podzbiór jest podprzestrzenią liniową ?? (suma wektorów)
Witam ! Mam problem z udowodnieniem czy podany podzbiór jest przestrzenią liniową... Udowadniam dwa przypadki ale nie wiem jak rozpisać trzeci : \(\displaystyle{ \vec{a}+\vec{b}\in V_{1}}\).
Przestrzeń:
\(\displaystyle{ V_{1}=\{(x,y,z) R^{3} : x+3y=0 , 4y-2z=0\}}\)
1) Czy \(\displaystyle{ \vec{0} V_{1}}\) ?
\(\displaystyle{ 1\cdot0+3\cdot0=0}\)
\(\displaystyle{ 4\cdot0-2\cdot0=0}\)
OK , warunek spełniony.
2) Czy \(\displaystyle{ \alpha\vec{a}\in V_{1}}\) \(\displaystyle{ (\alpha R \vec{a} V_{1})}\)
\(\displaystyle{ \vec{a}(x,y,z) : x+3y=0 , 4y-2z=0}\)
\(\displaystyle{ \alpha\vec{a}(\alpha x , y , z) : x+3(\alpha y)=0 , 4(\alpha y)-2(\alpha z)=0}\)
I)
\(\displaystyle{ \alpha\vec{a} V_{1} (x+3y)=0}\)
\(\displaystyle{ \alpha\vec{a} V_{1} x+3y=0}\)
II)
\(\displaystyle{ 4(\alpha y)-2(\alpha z)=0}\)
\(\displaystyle{ \alpha (4y-2z)=0}\)
\(\displaystyle{ 4y-2z=0}\)
Warunek spełniony.
3) Czy \(\displaystyle{ \vec{a}+\vec{b} V_{1}}\) ???
I tutaj mam problem, jak to rozpisać... z góry dziękuję za pomoc +
Przestrzeń:
\(\displaystyle{ V_{1}=\{(x,y,z) R^{3} : x+3y=0 , 4y-2z=0\}}\)
1) Czy \(\displaystyle{ \vec{0} V_{1}}\) ?
\(\displaystyle{ 1\cdot0+3\cdot0=0}\)
\(\displaystyle{ 4\cdot0-2\cdot0=0}\)
OK , warunek spełniony.
2) Czy \(\displaystyle{ \alpha\vec{a}\in V_{1}}\) \(\displaystyle{ (\alpha R \vec{a} V_{1})}\)
\(\displaystyle{ \vec{a}(x,y,z) : x+3y=0 , 4y-2z=0}\)
\(\displaystyle{ \alpha\vec{a}(\alpha x , y , z) : x+3(\alpha y)=0 , 4(\alpha y)-2(\alpha z)=0}\)
I)
\(\displaystyle{ \alpha\vec{a} V_{1} (x+3y)=0}\)
\(\displaystyle{ \alpha\vec{a} V_{1} x+3y=0}\)
II)
\(\displaystyle{ 4(\alpha y)-2(\alpha z)=0}\)
\(\displaystyle{ \alpha (4y-2z)=0}\)
\(\displaystyle{ 4y-2z=0}\)
Warunek spełniony.
3) Czy \(\displaystyle{ \vec{a}+\vec{b} V_{1}}\) ???
I tutaj mam problem, jak to rozpisać... z góry dziękuję za pomoc +
-
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Czy podzbiór jest podprzestrzenią liniową ?? (suma wektorów)
\(\displaystyle{ a=(a_1,a_2,a_3)}\)
\(\displaystyle{ b=(b_1,b_2,b_3)}\)
Jesli \(\displaystyle{ a,b\in V}\), to mamy:
(I) \(\displaystyle{ a_1+3a_2=0}\)
(II) \(\displaystyle{ 4a_2-2a_3=0}\)
(III) \(\displaystyle{ b_1+3b_2=0}\)
(IV) \(\displaystyle{ 4b_2-2b_3=0}\)
dodajac stronami (I),(III) oraz (II),(IV) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (a_1+b_1)+3(a_2+b_2)=0}\)
\(\displaystyle{ 4(a_2+b_2)-2(a_3+b_3)=0}\)
a to oznacza, ze
\(\displaystyle{ a+b\in V}\).
\(\displaystyle{ b=(b_1,b_2,b_3)}\)
Jesli \(\displaystyle{ a,b\in V}\), to mamy:
(I) \(\displaystyle{ a_1+3a_2=0}\)
(II) \(\displaystyle{ 4a_2-2a_3=0}\)
(III) \(\displaystyle{ b_1+3b_2=0}\)
(IV) \(\displaystyle{ 4b_2-2b_3=0}\)
dodajac stronami (I),(III) oraz (II),(IV) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (a_1+b_1)+3(a_2+b_2)=0}\)
\(\displaystyle{ 4(a_2+b_2)-2(a_3+b_3)=0}\)
a to oznacza, ze
\(\displaystyle{ a+b\in V}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 232
- Rejestracja: 8 paź 2006, o 16:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wawa
- Podziękował: 121 razy
- Pomógł: 1 raz
Czy podzbiór jest podprzestrzenią liniową ?? (suma wektorów)
dziękuję a jak będzie wyglądał dowód takiej przestrzeni:
\(\displaystyle{ V=\{(x,y,z,t)\in R^{4} : x^{2}+y=0 \}}\)
\(\displaystyle{ V=\{(x,y,z,t)\in R^{4} : x^{2}+y=0 \}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Czy podzbiór jest podprzestrzenią liniową ?? (suma wektorów)
Bo np:
\(\displaystyle{ (2,-4,0,0)}\) nalezy
lecz
\(\displaystyle{ 2\cdot(2,-4,0,0)=(4,-8,0,0)}\)
nie nalezy, bo
\(\displaystyle{ 4^2-8\neq 0}\).
\(\displaystyle{ (2,-4,0,0)}\) nalezy
lecz
\(\displaystyle{ 2\cdot(2,-4,0,0)=(4,-8,0,0)}\)
nie nalezy, bo
\(\displaystyle{ 4^2-8\neq 0}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 232
- Rejestracja: 8 paź 2006, o 16:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wawa
- Podziękował: 121 razy
- Pomógł: 1 raz
Czy podzbiór jest podprzestrzenią liniową ?? (suma wektorów)
To już ostatni przykład, wyszło mi że jest to podprzestrzeń, ale pewności nigdy za wiele:
\(\displaystyle{ V=\{(x,y,z)\in R^{3} : 3x+4y=0 y+z=0 \}}\)
\(\displaystyle{ V=\{(x,y,z)\in R^{3} : 3x+4y=0 y+z=0 \}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 232
- Rejestracja: 8 paź 2006, o 16:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wawa
- Podziękował: 121 razy
- Pomógł: 1 raz
Czy podzbiór jest podprzestrzenią liniową ?? (suma wektorów)
Mam jeszcze takie pytanie, co w przypadku gdy mam jakąś przestrzeń i od razu nie mogę znaleźć żadnego kontrprzykładu na to że podany podzbiór należy do przestrzeni liniowej... Jak wtedy najszybciej to robić ??
mam np. przykład:
\(\displaystyle{ V=\{(x,y,z,t)\in R^{4} : 2x+y=0 3x-z=0 \}}\)
Wiem już jest tutaj kontrprzykład dla sumy dwóch wektorów \(\displaystyle{ a + b = (2, -2 , 3, 0)}\)
wtedy \(\displaystyle{ 2 2+(-2) 0}\) i \(\displaystyle{ 3 2 - 3 0}\) ;
Ale chodzi oto jak do tego dojść ??
Rozpatruje przecież warunek suma a i b :
\(\displaystyle{ a=(a_{1}, a_{2} , a_{3}, a_{4})}\)
\(\displaystyle{ b=(b_{1}, b_{2} , b_{3}, b_{4})}\)
i mamy:
I)\(\displaystyle{ 2a_{1}+a_{2}=0}\)
II)\(\displaystyle{ 3a_{1}-a_{3}=0}\)
III)\(\displaystyle{ 2b_{1}+b_{2}=0}\)
IV)\(\displaystyle{ 3b_{1}-b_{3}=0}\)
dodając stronami I) z III) i II) z IV) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 2(a_{1}+b_{1})+(a_{2}+b_{2})=0}\)
\(\displaystyle{ 3(a_{1}+b_{1})-(a_{3}+b_{3})=0}\)
i jak to się ma na to że wiemy że będzie tutaj kontrprzykład ?? Przecież chyba z tego co wyszło wynika, że \(\displaystyle{ a+b V}\) .. a może się mylę ?? Dziękuję za łapotologiczne wytłumaczenie...
mam np. przykład:
\(\displaystyle{ V=\{(x,y,z,t)\in R^{4} : 2x+y=0 3x-z=0 \}}\)
Wiem już jest tutaj kontrprzykład dla sumy dwóch wektorów \(\displaystyle{ a + b = (2, -2 , 3, 0)}\)
wtedy \(\displaystyle{ 2 2+(-2) 0}\) i \(\displaystyle{ 3 2 - 3 0}\) ;
Ale chodzi oto jak do tego dojść ??
Rozpatruje przecież warunek suma a i b :
\(\displaystyle{ a=(a_{1}, a_{2} , a_{3}, a_{4})}\)
\(\displaystyle{ b=(b_{1}, b_{2} , b_{3}, b_{4})}\)
i mamy:
I)\(\displaystyle{ 2a_{1}+a_{2}=0}\)
II)\(\displaystyle{ 3a_{1}-a_{3}=0}\)
III)\(\displaystyle{ 2b_{1}+b_{2}=0}\)
IV)\(\displaystyle{ 3b_{1}-b_{3}=0}\)
dodając stronami I) z III) i II) z IV) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 2(a_{1}+b_{1})+(a_{2}+b_{2})=0}\)
\(\displaystyle{ 3(a_{1}+b_{1})-(a_{3}+b_{3})=0}\)
i jak to się ma na to że wiemy że będzie tutaj kontrprzykład ?? Przecież chyba z tego co wyszło wynika, że \(\displaystyle{ a+b V}\) .. a może się mylę ?? Dziękuję za łapotologiczne wytłumaczenie...
-
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Czy podzbiór jest podprzestrzenią liniową ?? (suma wektorów)
Tam w nawiasie masz spojnik \(\displaystyle{ \vee}\) (UWAGA: umknelo mi to 2 posty wyzej! Tamta przestrzen nie jest liniowa!) dlatego ten zabieg z dodawaniem rownan stronami nie wyjdzie, bo z faktu:
\(\displaystyle{ (a=0 b=0) (c=0 d=0)}\)
nie wynika, ze
\(\displaystyle{ a+b=0\vee c+d=0}\).
Dla porownania. Z faktu:
\(\displaystyle{ (a=0 b=0) (c=0 d=0)}\)
wynika, ze
\(\displaystyle{ a+b=0\wedge c+d=0}\).
Myslimy o tym tak. Jesli nie widac od razu kontrprzykladu, to probujemy udowodnic i jesli sie nie udaje, to patrzymy dlaczego i ewentualnie produkujemy kontrprzyklad.
\(\displaystyle{ (a=0 b=0) (c=0 d=0)}\)
nie wynika, ze
\(\displaystyle{ a+b=0\vee c+d=0}\).
Dla porownania. Z faktu:
\(\displaystyle{ (a=0 b=0) (c=0 d=0)}\)
wynika, ze
\(\displaystyle{ a+b=0\wedge c+d=0}\).
Myslimy o tym tak. Jesli nie widac od razu kontrprzykladu, to probujemy udowodnic i jesli sie nie udaje, to patrzymy dlaczego i ewentualnie produkujemy kontrprzyklad.