Sprawdzić liniową niezależność

luka · Post autor: **luka** » 14 gru 2008, o 18:11

Sprawdzić liniową niezależność następujących układów wektorów w \(\displaystyle{ F^{n}}\) (F – domyślne):
(a) (2, 3,−1), (−1, 0, 3), (0, 1,−3),
(b) (4, 1+2i), (−i, 0),
(c) (4, 2, 1), (−1, 0, 4)
Pomóżcie mi zrobić chociaż jedno a resztę sam będę próbował[/latex]

Ptaq666 · Post autor: **Ptaq666** » 14 gru 2008, o 21:14

Sprawdzasz, czy istnieją takie a,b,c , że \(\displaystyle{ a(2,3,-1) + b(-1,0,3) + c(0,1,-3) = (0,0,0)}\)

Jeśli jedynymi a,b,c są zera, to wektory są niezależne. (mówi się, że taka kombinacja jest trywialna)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2a-b = 0 \\ 3a+c = 0 \\ -a+3b-3c = 0 \end{cases}}\)

No i wydaje mi się, że w tym wypadku kombinacja właśnie jest trywialna i wektory są niezależne. (a=0 , b=0 , c=0 to jedyne rozwiązanie)

luka · Post autor: **luka** » 15 gru 2008, o 20:47

Czyli podpunkt b będzie wyglądał tak ?

\(\displaystyle{ \begin{cases}
4a-i=0
\\
a+2i+b=0
\end{cases}}\)

No i coz tym dalej zrobić
jak rozwiązałem układ to wyszło mi zero nie wiem czy to dobrze.

Ptaq666 · Post autor: **Ptaq666** » 15 gru 2008, o 21:18

Źle, nie wiesz jak się dodaje wektory i mnoży je przez stałą ?. Zobacz, w drugim przykładzie jest taka sytuacja :

\(\displaystyle{ a(4,1,2i) + b(-i,0) = (4a,1a,2ia) + (-ib, 0b) = (4a-ib, 1a +0b, 2ia) = 0}\)

I teraz z tego wynika, że :

\(\displaystyle{ \begin{cases} 4a-ib = 0 \\ a=0 \\ 2ia = 0 \end{cases}}\)

No i teraz rzeczywiście wychodzi, że a=0 b=0 c=0

Ogólnie we wszystkich tych przykładach wyjdzie ci, że są niezależne

Lukasz_C747 · Post autor: **Lukasz_C747** » 15 gru 2008, o 21:24

Ptaq666: Po pierwsze oba wektory są dwuwymiarowe. Po drugie dodawanie wektorów o różnych wymiarach jest "nielegalne"

Ptaq666 · Post autor: **Ptaq666** » 15 gru 2008, o 22:13

Uuu, no to sorry, popsułem

luka · Post autor: **luka** » 15 gru 2008, o 22:19

To jak w końcu to ma wyglądać ?

JankoS · Post autor: **JankoS** » 16 gru 2008, o 13:55

luka pisze:To jak w końcu to ma wyglądać ?

a) - niezależne, co pokazał Kolega ptaq666, b) zadanie nie ma sensu, c) zależne.

luka · Post autor: **luka** » 16 gru 2008, o 15:12

Dobrze ale jak to rozpisać?

JankoS · Post autor: **JankoS** » 16 gru 2008, o 20:49

luka pisze:Dobrze ale jak to rozpisać?

(a) (2, 3,−1), (−1, 0, 3), (0, 1,−3),

\(\displaystyle{ a(2, 3,-1)+b(-1, 0, 3)+c(0, 1,-3)=(2a-b,3a+c,-a+3b-3c )=(0,0,0) }\)
\(\displaystyle{ (2a-b=0 3a+c=0 -a+3b-3c=0) (b=2a c=-3a -a+6a+9a=0) a=b=c=0.}\)
Stąd i z definicji liniowej (nie)zalezności te wektory są liniowo niezależne.
Można też policzyć wyznacznik macierzy utworzonej z tych wektorów i jeżeli jest on niezerowy, to wektory są liniowo niezależne.
Można też....

(b) (4, 1+2i), (−i, 0)
Tych wektorów nie potrafimy dodać, więć nie można powiedzieć nic o ich liniowej niezależności.

(c) (4, 2, 1),(−1, 0, 4)
Postępując podobnie jak w a) pokazuje się, że stosowny układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, a więc istnieją rzeczywiste a, b takie, że \(\displaystyle{ a(4, 2, 1)+b(-1,0,4)=(0,0,0) a^2+b^2 0.}\)
Można też skorzystać z jakiegoś tam twierdzenia.