Kilka pytań testowych

Luxy · Post autor: **Luxy** » 12 gru 2008, o 15:55

Witam! Ostatnio właśnie pisałem repetytorium z logiki i teorii mnogości, ale nie jestem pewien czy dobrze zrobiłem. Proszę zatem o pomoc w rozwiązaniu tych zadań i jeśli ktoś mógłby napisać co nieco na temat swojego wyboru to byłbym wdzięczny.

1. W dowodzie, że klasy abstrakcji relacji równoważności są niepuste wykorzystuje się:
a) symetrię, b) zwrotność, c) przechodniość.

2. Formuła rachunku zdań będąca alternatywą zaprzeczeń tautologii jest:
a) zaprzeczeniem tautologii, b) tautologią, c) ani pierwszym, ani drugim.

3. Relacja \(\displaystyle{ x \approx y \Leftrightarrow 2|x-y \vee 3|x-y}\) jest:
a) zwrotna i przechodnia, b) zwrotna i nieprzechodnia, c) symetryczna i przechodnia.

4. Wśród trzech zbiórów każde dwa nie niepuste przecięcie, wtedy część wspólna wszystkich trzech:
a) musi być pusta, b) musi być niepusta, c) może być pusta.

5. Mamy dwie rodziny zbiorów X i Y i \(\displaystyle{ X \subseteq Y}\) (tutaj X i Y są pisane tak samo jak się pisze R-zbiór liczb rzeczywistych, jakoś tak podwójnie), wtedy:
a) \(\displaystyle{ \bigcap_{}^{}X \subseteq \bigcap_{}^{}Y}\), b) \(\displaystyle{ \bigcap_{}^{}Y \subseteq \bigcap_{}^{}X}\), c) nic nie musi zachodzić.

6. Mamy f: X -> Y i Z \(\displaystyle{ \subseteq}\) X, wtedy:
a) f jest "1-1" to f|Z jest "1-1", b) f nie jest "1-1" to f|Z nie jest "1-1", c) f|Z jest "1-1" to f jest "1-1".

7. Z tego, że \(\displaystyle{ f(x)\notin f(A)}\) wynika:
a) x \(\displaystyle{ \notin}\) A pod warunkiem, że f jest "na", b) x \(\displaystyle{ \notin}\) A pod warunkiem, że f jest "1-1", c) x \(\displaystyle{ \notin}\) A.

Dziękuję z góry za pomoc.

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 12 gru 2008, o 16:41

Quote:

4. Wśród trzech zbiórów każde dwa nie niepuste przecięcie, wtedy część wspólna wszystkich trzech:
a) musi być pusta, b) musi być niepusta, c) może być pusta.

c)

Luxy · Post autor: **Luxy** » 12 gru 2008, o 17:08

Dziękuję. Wybrałem to samo

Post autor: **Jan Kraszewski** » 12 gru 2008, o 22:22

1 b)
2 a)
3 coś nie tak, poprawne jest zarówno b), jak i c)
5 b)
6 a)
7 c)

JK

Luxy · Post autor: **Luxy** » 12 gru 2008, o 22:55

Dziękuję. Jednak mógłbyś uzasadnić swój wybór w 5?
W tym 3 faktycznie się pomyliłem w c) powinno być symetryczna i przechodnia.
I w 7 wybrałem to samo, mimo że koleżanka twierdzi, iż poprawna odpowiedź to b Dlatego teraz mam wątpliwości. Bo wiemy, że "jeśli f(x) należy do f(A) to x musi należeć do A". Ale jak teraz temu zaprzeczyć, aby było "jeżeli f(x) nie należy do f(A) to coś tam"?
Nie rozumiem za to 5 :/ Myślałem, że zapis "X zawiera się w Y" oznacza dla każdego i Xi zawiera w Yi, więc przecięcie Xi zawiera się w przecięciu Yi, a nie na odwrót...

max · Post autor: **max** » 13 gru 2008, o 11:33

Z tym 7. to jest tak:
Jeśli \(\displaystyle{ x\in A}\), to \(\displaystyle{ f(x)\in f(A)}\).
Teraz przez kontrapozycję:
Jeśli \(\displaystyle{ f(x)\notin f(A)}\), to \(\displaystyle{ x\notin A}\)
czyli tak jak trzeba.

Co do 5. to te rodziny zbiorów nie są indeksowanymi rodzinami. Traktujemy je jak zwykłe zbiory, które zawierają pewne zbiory. Czyli \(\displaystyle{ X\subseteq Y}\) oznacza, że każdy zbiór z \(\displaystyle{ X}\) należy do \(\displaystyle{ Y}\), więc przecinając \(\displaystyle{ \bigcap Y}\) przetniemy w szczególności wszystkie zbiory z \(\displaystyle{ X}\) (a być może jeszcze więcej zbiorów) czyli \(\displaystyle{ \bigcap Y \subseteq \bigcap X}\)

Luxy · Post autor: **Luxy** » 13 gru 2008, o 16:02

Teraz to już rozumiem 7.
Boże.... chyba już wiem o co chodzi..... tak często liczyłem sumę i przecięcie rodziny zbiorów, a zapomniałem o tym, że rodzina to po prostu zbiór, który zawiera zbiory, a nie jakieś elementy jak liczby czy coś... Teraz już rozumiem. Bardzo dziękuję za pomoc. Jednak wybrałem błędną odpowiedź

max · Post autor: **max** » 13 gru 2008, o 16:13

Rodzina (nieindeksowana) zbiorów to zbiór, którego elementami są zbiory.

Luxy · Post autor: **Luxy** » 13 gru 2008, o 16:22

Tak, tak, właśnie przed chwilą to zobaczyłem w książce... Gdzieś, kiedyś na wykładzie to było... ale nigdy do tego nie wracaliśmy, tylko liczyliśmy jakieś sumy, przecięcia i zupełnie zapomniałem :/ Traktowałem elementy rodziny X i Y jako... np. powiedzmy liczby

Post autor: **Jan Kraszewski** » 13 gru 2008, o 23:01

Luxy pisze:I w 7 wybrałem to samo, mimo że koleżanka twierdzi, iż poprawna odpowiedź to b Dlatego teraz mam wątpliwości. Bo wiemy, że "jeśli f(x) należy do f(A) to x musi należeć do A". Ale jak teraz temu zaprzeczyć, aby było "jeżeli f(x) nie należy do f(A) to coś tam"?

Po pierwsze: Nie wiemy, że "jeśli f(x) należy do f(A) to x musi należeć do A", bo to nieprawda.
Po drugie: Wskazałem odpowiedź c), kierując się logiką testu - ta odpowiedź jest na pewno poprawna. Natomiast przy takim sformułowaniu odpowiedzi, jakie są, uważam, że wszystkie trzy są poprawne.

Otóż stwierdzenie "p pod warunkiem, że q" opisuje implikację \(\displaystyle{ q \Rightarrow p}\). Implikacja

\(\displaystyle{ f(x)\notin f(A) \Rightarrow (\psi(f) \Rightarrow x\notin A)}\),

gdzie \(\displaystyle{ \psi(f)}\) oznacza "f jest 1-1" lub "f jest na", jest równoważna (przez kontrapozycję) implikacji

\(\displaystyle{ \neg(\psi(f) \Rightarrow x\notin A) \Rightarrow \neg(f(x)\notin f(A))}\),

czyli

\(\displaystyle{ (\psi(f) \land x\in A) \Rightarrow f(x)\in f(A)}\),

a ta jest prawdziwa...
Podejrzewam zatem, że autorowi testu chodziło o co innego, a wyszło jak wyszło.

JK

Luxy · Post autor: **Luxy** » 13 gru 2008, o 23:25

Hm... tak źle napisałem. Powinno być, że jeżeli x należy do A to f(x) należy do f(A).
A co do tego [wygasło] to pierwszy warunek nie jest konieczny. Tzn. wystarczy, że jeżeli x należy do A to f(x) należy do f(A), nawet jeśli funkcja nie jest "1-1" czy "na"...

Post autor: **Jan Kraszewski** » 14 gru 2008, o 11:35

Luxy pisze:A co do tego [wygasło] to pierwszy warunek nie jest konieczny. Tzn. wystarczy, że jeżeli x należy do A to f(x) należy do f(A), nawet jeśli funkcja nie jest "1-1" czy "na"...

No właśnie, dlatego mamy trzy poprawne odpowiedzi...
JK

Luxy · Post autor: **Luxy** » 14 gru 2008, o 12:25

Hm.... jeśli f(x) nie należy do f(A), to x nie należy do A bez żadnych warunków. W pozostałych podpunktach jakiś warunek musi być spełniony, bo bez niego ani rusz, ale to nieprawda, czyli są fałszywe.
A ta implikacja [wygasło] mówi, że funkcja musi być "1-1" ("na") i x musi należeć do A, wtedy f(x) należy do f(A), tzn. jeśli jeden z warunków nie jest spełniony to implikacja będzie fałszywa, co jest nieprawdą, bo jak wyżej napisałem, wystarczy, że x należy do A, aby f(x) należy do f(A).
Reasumując, odpowiedzi a i b są fałszywe. Mam nadzieję, że teraz będziesz wiedział o co chodzi. Ja wybrałem 6 poprawnych odpowiedzi, 2 fałszywe, czyli mam 4 punkty :/ Bo za jeden błąd -1 punkt :/

Post autor: **Jan Kraszewski** » 14 gru 2008, o 21:40

Luxy pisze:Hm.... jeśli f(x) nie należy do f(A), to x nie należy do A bez żadnych warunków. W pozostałych podpunktach jakiś warunek musi być spełniony, bo bez niego ani rusz, ale to nieprawda, czyli są fałszywe.
A ta implikacja [wygasło] mówi, że funkcja musi być "1-1" ("na") i x musi należeć do A, wtedy f(x) należy do f(A), tzn. jeśli jeden z warunków nie jest spełniony to implikacja będzie fałszywa, co jest nieprawdą, bo jak wyżej napisałem, wystarczy, że x należy do A, aby f(x) należy do f(A).

To co napisałeś: jeśli jeden z warunków nie jest spełniony to implikacja będzie fałszywa jest nieprawdą. Jeśli istotnie jeden z warunków: \(\displaystyle{ \psi(f)}\), \(\displaystyle{ x\in A}\) nie jest spełniony to implikacja będzie prawdziwa, bo będzie miała fałszywy poprzednik.

Zauważ, że dodając warunek \(\displaystyle{ \psi(f)}\) wzmacniasz założenia, zatem jeszcze łatwiej otrzymać tezę... Czyli jednak wszystkie trzy odpowiedzi są poprawne.

JK

Luxy · Post autor: **Luxy** » 14 gru 2008, o 22:41

Oki, dzięki

[ Dodano: 15 Grudnia 2008, 18:38 ]
Hm.... chyba już wiem gdzie jest błąd. Możliwe, że w dwóch pozostałych podpunktach powinno być x należy do A. Bo wątpię, żeby jakiś super dr prof. hab. się pomylił Jutro pewnie to odda, wtedy napiszę co tam powinno być.