wzory Viete'a- wyznaczanie wartości wyrażeń

[Hatcher]

Zad.
Nie obliczając pierwiastków\(\displaystyle{ x_1}\) i \(\displaystyle{ x_2}\) trójmianu \(\displaystyle{ x^2+3x-4}\), wyznacz wartości wyrażeń:
a.\(\displaystyle{ (x)_1^2-(x)_2^2}\)

b.\(\displaystyle{ (x_1)^3-(x_2)^3}\)

Bardzo proszę o pomoc w tym zadaniu.

[xanowron]

Zad.
Nie obliczając pierwiastków\(\displaystyle{ x_1}\) i \(\displaystyle{ x_2}\) trójmianu \(\displaystyle{ x^2+3x-4}\), wyznacz wartości wyrażeń:
a.\(\displaystyle{ (x)_1^2-(x)_2^2}\)

b.\(\displaystyle{ (x_1)^3-(x_2)^3}\)

Bardzo proszę o pomoc w tym zadaniu.

a) \(\displaystyle{ (x_1)^2-(x_2)^2=z}\)

\(\displaystyle{ x_1=a}\)
\(\displaystyle{ x_2=b}\)
\(\displaystyle{ a^2-b^2=z}\)

Wyrażenie może przyjąć wartość ujemną lub dodatnią (jeśli pierwiastki są różne), więc zapisałem sobie to tak: \(\displaystyle{ |z|=\sqrt{(a^2-b^2)}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{(a^2-b^2)}= \sqrt{a^4+b^4-2a^2b^2}=\sqrt{(a^2+b^2)^2-2(ab)^2-2(ab)^2}=\sqrt{((a+b)^2-2ab)^2-4(ab)^2}}\)

Teraz:
\(\displaystyle{ a+b=-3}\)
\(\displaystyle{ ab=-4}\)

Więc:

\(\displaystyle{ \sqrt{((a+b)^2-2ab)^2-4(ab)^2}=\sqrt{((-3)^2-2\cdot(-4))^2-4\cdot(-4)^2}=\sqrt{(9+8)^2-64}=\sqrt{225}=15}\)

\(\displaystyle{ |z|=15 z=15 z=-15}\)

Jednak nie wydaje mi się to prawidłowe i lepiej żeby ktoś to potwierdził.

[marcinn12]

A nie można działać w ten sposób, że:

\(\displaystyle{ (x _{1}) ^{2} -(x_{2}) ^{2} = (\frac{-b- \sqrt{\delta} }{2a}) ^{2} - (\frac{-b+ \sqrt{\delta} }{2a}) ^{2} = \frac{b ^{2}+2b \sqrt{\delta} + \sqrt{\delta}}{4a ^{2} }- \frac{b ^{2}-2b \sqrt{\delta} + \sqrt{\delta} }{4a ^{2} } = \frac{4b \sqrt{\delta} }{4a ^{2} } = \frac{b \sqrt{\delta}} {a ^{2} }= \frac{b \sqrt{b ^{2}-4ac }} {a ^{2} }}\)

Jeżeli są 2 różne pierwiastki (lub jeden 2 krotny), z tego wynika, że delta jest większa lub równa zero tym samym wartość pod pierwiastkiem też będzie większa lub równa zero i nie ma obawy, że będzie tam wartośc ujemna. I teraz pozostaje tylko podstawianie...


Nie można tak tego zrobić?

[xanowron]

A nie można działać w ten sposób, że:

\(\displaystyle{ (x _{1}) ^{2} -(x_{2}) ^{2} = (\frac{-b- \sqrt{\delta} }{2a}) ^{2} - (\frac{-b+ \sqrt{\delta} }{2a}) ^{2} = \frac{b ^{2}+2b \sqrt{\delta} + \sqrt{\delta}}{4a ^{2} }- \frac{b ^{2}-2b \sqrt{\delta} + \sqrt{\delta} }{4a ^{2} } = \frac{4b \sqrt{\delta} }{4a ^{2} } = \frac{b \sqrt{\delta}} {a ^{2} }= \frac{b \sqrt{b ^{2}-4ac }} {a ^{2} }}\)

Jeżeli są 2 różne pierwiastki (lub jeden 2 krotny), z tego wynika, że delta jest większa lub równa zero tym samym wartość pod pierwiastkiem też będzie większa lub równa zero i nie ma obawy, że będzie tam wartośc ujemna. I teraz pozostaje tylko podstawianie...


Nie można tak tego zrobić?

Tu chodzi o zastosowanie wzorów Viete'a.

Poza tym:
Podstawiam i wychodzi \(\displaystyle{ 15}\).

Sprawdzenie:
Pierwiastkami \(\displaystyle{ x^2+3x-4}\) są \(\displaystyle{ x=-4 \vee x=1}\), teraz:
\(\displaystyle{ 1^o}\)

\(\displaystyle{ x_1=-4}\)
\(\displaystyle{ x_2=1}\)

\(\displaystyle{ (-4)^2-(1)^2=16-1=15}\)

\(\displaystyle{ 2^o}\)

\(\displaystyle{ x_1=1}\)
\(\displaystyle{ x_2=-4}\)

\(\displaystyle{ (1)^2-(-4)^2=1-16=-15}\)

A gdzie \(\displaystyle{ -15}\)?

[Hatcher]

w odpowiedziach w książce jest tylko jeden wynik:\(\displaystyle{ 15}\), nie wiem, może jest jakiś inny sposób(prostszy)?

[xanowron]

To nie rozumiem, pewnie przepisałeś niepełne polecenie, albo jest błąd w odpowiedziach, bo przy takim stanie rzeczy powinny być wg mnie dwie odpowiedzi.

[marcinn12]

Ja jutro z ciekawości pójdę spytam się nauczyciela od matematyki i zdam relacje co mi powiedział, bo fajne zadanko. Właśnie gdy przerabialśmy wzory vieta zastanowaiłem się co robic gdy jest odejmowanie :p


Dodano:

ehh to się dowiedziałem... powiedziala, ze jst jakieś proste przejście i że go nie pamieta. Pomysli w domu i jak sie jej przypomni to mi powie...