Oblicz granice

Łaju · Post autor: **Łaju** » 12 gru 2008, o 19:14

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } \frac{e ^{sin3x}- e ^{3x} }{x}}\)

Dostalem takie zadanie na kolokwium, wyszedl mi wynik 0, dziwna metoda, jaka metoda jest prawidlowa i jaki powinien wyjsc wynik

*ds4 · Post autor: *ds4 » 12 gru 2008, o 20:02

wiesz mi tez wyszlo 0.

a mianowicie: \(\displaystyle{ e ^{sin3x} - e ^{3x}=[(1+3x) ^{ \frac{1}{sin3x} }] ^{sin3x} - [(1+3x) ^{ \frac{1}{3x} } ] ^{3x}=1+sin3x-1-3x=sin3x - 3x

\lim_{x \to 0} \frac{sin3x-3x}{x}= \lim_{ x\to0 } ( \frac{sin3x}{3x})*3- \frac{3x}{x} =0}\)

oczywiscie pewien nie jestem czy to dobrze ;p

Lorek · Post autor: **Lorek** » 12 gru 2008, o 21:16

*ds4, Twoje przekształcenia są co najmniej magiczne

Łaju · Post autor: **Łaju** » 12 gru 2008, o 21:39

czy rozumowanie takim tokiem ma racje bytu?

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } \sqrt[x]{ \frac{e ^{ \frac{sin3x * 3x}{3x} } - e ^{3x}}{x} }}\) tu korzystam z kryterium Cauchy'ego, wykorzystujac granice specjalne \(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } \frac{sinx}{x}= 1}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } \sqrt[x]{x} = 1}}\) otrzymam z tego wyrazenie \(\displaystyle{ \frac{0}{1} = 0 }\) czyli ciag jest zbieżny, a skoro jest zbiezny to \(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 }a _{n} = 0}\)

*ds4 · Post autor: *ds4 » 12 gru 2008, o 21:54

Lorek pisze:*ds4, Twoje przekształcenia są co najmniej magiczne

a no jesli chodzi o te e do sin3x to tam zapomnialem sin napisac ;p

a po za tym to nie rozumiem :/

gufox · Post autor: **gufox** » 13 gru 2008, o 00:22

hospitalem to szarpnac

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} e ^{sin3x}3cos3x-3e ^{3x} =0}\)

Łaju · Post autor: **Łaju** » 13 gru 2008, o 00:34

w poleceniu miałem "nie używajac" hospitala

Lorek · Post autor: **Lorek** » 13 gru 2008, o 12:36

*ds4 pisze: a mianowicie: \(\displaystyle{ e ^{sin3x} - e ^{3x}=[(1+3x) ^{ \frac{1}{sin3x} }] ^{sin3x} - [(1+3x) ^{ \frac{1}{3x} } ] ^{3x}}\)

Tu jest magiczne przejście, które na bardzo upartego można zaakceptować, ale lepiej tak nie robić.

Łaju, Cauchy'ego to się stosuje do ciągów/szeregów i o ile można by to rozszerzyć na granice funkcji to ale przy \(\displaystyle{ x\to \infty}\) a nie \(\displaystyle{ \to 0}\)

*ds4 · Post autor: *ds4 » 13 gru 2008, o 14:10

moze glupie pytanie, ale moglbys mi powiedziec w jaka pulapke moge wpasc tak robiac?

Lorek · Post autor: **Lorek** » 14 gru 2008, o 11:22

Tak na szybko: (jakbym trochę pomyślał to bym i dla e wymyślił)
\(\displaystyle{ 1=\lim_{x\to\infty}1^x=\lim_{x\to\infty}(\sqrt[x]{2})^x=2}\)
w każdym razie chodzi o coś w tym stylu
albo
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\sin x=\frac{1}{x}\cdot 0=0}\)

[ Dodano: 14 Grudnia 2008, 11:33 ]
tu masz przykład na e https://matematyka.pl/97002.htm