Suma dwóch liczb naturalnych dodatnich wynosi \(\displaystyle{ 168}\), a ich największy wspólny dzielnik równa sie \(\displaystyle{ 24}\) Znajdź te liczby.
proszę o wyjaśnienie i rozwiązanie
Największy wspólny dzielnik
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Największy wspólny dzielnik
Niech \(\displaystyle{ NWD(a,b)=d}\), wtedy możemy liczby a i b przedstawić w postaci \(\displaystyle{ a=dp,b=dq}\), czyli \(\displaystyle{ a=24p,b=24q}\), gdzie \(\displaystyle{ p,q N}\)
Suma liczb a i b wynosi 168, więc \(\displaystyle{ 24(p+q)=168,p+q=7}\)
Wystarczy teraz sprawdzić, które spośród par \(\displaystyle{ (p,q)}\): \(\displaystyle{ (1,6),(2,5),(3,4)}\) spełniają warunki zadania. Okazuje się, że wszystkie, bo wszystkie pary składają się z liczb względnie pierwszych (jeśli nie rozumiesz, dlaczego, to po prostu policz największy wspólny dzielnik dla każdego przypadku).
Ostatecznie \(\displaystyle{ (p,q)=(1,6),(2,5),(3,4)}\)
czyli \(\displaystyle{ (a,b)=(24,144),(48,120),(72,96)}\)
[ Dodano: 12 Grudnia 2008, 22:20 ]
Oczywiście a i b mogą być zamienione miejscami, więc w zasadzie otrzymujemy sześć rozwiązań, a nie trzy.
Suma liczb a i b wynosi 168, więc \(\displaystyle{ 24(p+q)=168,p+q=7}\)
Wystarczy teraz sprawdzić, które spośród par \(\displaystyle{ (p,q)}\): \(\displaystyle{ (1,6),(2,5),(3,4)}\) spełniają warunki zadania. Okazuje się, że wszystkie, bo wszystkie pary składają się z liczb względnie pierwszych (jeśli nie rozumiesz, dlaczego, to po prostu policz największy wspólny dzielnik dla każdego przypadku).
Ostatecznie \(\displaystyle{ (p,q)=(1,6),(2,5),(3,4)}\)
czyli \(\displaystyle{ (a,b)=(24,144),(48,120),(72,96)}\)
[ Dodano: 12 Grudnia 2008, 22:20 ]
Oczywiście a i b mogą być zamienione miejscami, więc w zasadzie otrzymujemy sześć rozwiązań, a nie trzy.