Napisać równianie stycznej do wykresu funkcji

[AlienXT]

Siemka, muszę napisać równianie stycznej do wykresu funkcji dla tych dwóch przykładów:
1) \(\displaystyle{ f(x) = \frac{e^x}{x+1}}\) w punkcie \(\displaystyle{ (1,f(1))}\)
2) \(\displaystyle{ f(x) = arcsin \frac{X}{2}}\) w punkcie \(\displaystyle{ (1,f(1))}\)
Nie było mnie na zajęciach i nie mam zielonego pojęcia jak to obliczyć.

[bedbet]

Styczna funkcji jest prostą. Możemy więc zapisać \(\displaystyle{ y=ax}\). Współczynnik kierunkowy tej prostej będzie równy pochodnej funkcji w punkcie do której dana prosta jest styczna, a zatem \(\displaystyle{ y=f^{'}(x_0)}\) - jest to równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych, wiec należy te prostą przesunąć do miejsca w którym liczymy styczną, czyli do punktu \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\). Więc ostatecznie równanie stycznej fo wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) w punkcie \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\) będzie się wyrażać wzorem:

\(\displaystyle{ y-y_0=f^{'}(x_0)(x-x_0)}\)

[AlienXT]

Hmm, takie wytłumaczenie to ja też mam w podręczniku, ale jak to zrobić to nie mam zielonego pojęcia z tymi arcusami i liczbą e ;p

[bedbet]

a.)

\(\displaystyle{ f(1)=\frac{e}{2}\\
\\
f^{'}(x)=\frac{e^x(x+1)-e^x}{(x+1)^2}=\frac{xe^x}{(x+1)^2}\\
\\
f^{'}(1)=\frac{e}{4}}\)

Zatem równanie stycznej będzie następujące:

\(\displaystyle{ y-f(1)=f^{'}(1)(x-1)\\
\\
y=\frac{e}{4}x-\frac{e}{4}+\frac{e}{2}\\
\\
y=\frac{e}{4}x+\frac{e}{4}}\)

Z drugim spróbuj sam.

[AlienXT]

no ok,
\(\displaystyle{ f(1)= arsin \frac{1}{2}}\)
Ale jak obliczyć pochodną z tego arcsinx/2? Bo z tym też mam problem. Jest wzór na to, ale w miejsce tego x co mam wstawić i jak to dalej policzyć? Jeżeli mógłbyś podać mi ile wynosi pochodne to mysle ze sam spokojnie dokoncze ;p

[bedbet]

\(\displaystyle{ \left(\arcsin\frac{x}{2}\right)^{'}=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^2}}\left(\frac{x}{2}\right)^{'}=\frac{1}{2\sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^2}}}\)