[Nierówności] Nierówność, n liczb o sumie jeden, XIII BW

[frej]

Zadanie 4 z XIII Baltic Way

\(\displaystyle{ n\in \mathbb{Z}_+}\)
Dowieść, że
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} x_i (1-x_i)^2 (1-\frac{1}{n})^2}\)

Przy czym \(\displaystyle{ x_i 0}\) i \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} x_i =1}\)

[Piotr Rutkowski]

Rozważmy \(\displaystyle{ f:\rightarrow \mathbb{R_{0}}}\)
t. że \(\displaystyle{ f(a,b)=a(1-a)^{2}+b(1-b)^{2}}\)
Zauważmy, że jeśli \(\displaystyle{ (a\geq b)\Rightarrow (\exists_{l\in \mathbb_{R_{+}}}a-b=2l)}\)
Jeśli się nie pomyliłem w rachunkach \(\displaystyle{ f(a-l,b+l)-f(a,b)=l^{2}(4-3(a+b))\geq 0}\)
Co nam sprowadza zadanie do wykazania przypadku \(\displaystyle{ x_{1}=x_{2}=...=x_{n}=\frac{1}{n}}\)
A nierówność dla tego przypadku jest oczywista, zatem dostajemy tezę zadania Q.E.D.

[Sylwek]

Polskimisiek, ale czy zawsze możemy przeprowadzić taki ciąg zbliżeń, że dojdziemy do równości \(\displaystyle{ x_i=x_j}\) dla każdych i,j, czy tylko możemy się dowolnie blisko zbliżyć do tego ciągu równości?


\(\displaystyle{ f(x)=x(S-x)^2=x^3-2Sx^2+S^2x \\ f''(x)=6x-4S}\) (gdzie \(\displaystyle{ S=\sum_{i=1}^n x_i}\))

Gdy żaden wyraz nie przekracza \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\), to mamy: \(\displaystyle{ f''(x_i) 0}\), czyli f jest wklęsła, co implikuje:

\(\displaystyle{ L=n \frac{\sum f(x_i)}{n} n f( \frac{\sum x_i}{n})=n f(\frac{1}{n})=n \frac{1}{n} (1-\frac{1}{n})^2=(1-\frac{1}{n})^2}\)


Gdy któryś argument przekracza 2/3 (może być maksymalnie jeden, niech to będzie \(\displaystyle{ x_1=a}\)), wówczas (korzystając z tego, że gdy S=1 to w przedziale [1/3, 1] f(x) maleje mamy:
\(\displaystyle{ f(a) f(\frac{2}{3})=\frac{1}{9}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \sum_{i=2}^n f(x_i) \sum_{i=2}^n x_i = 1-a 1-\frac{2}{3} = \frac{1}{3}}\)
Czyli \(\displaystyle{ L \frac{1}{9}+\frac{1}{3} = (1-\frac{1}{3})^2 (1-\frac{1}{n})^2}\) dla \(\displaystyle{ n 3}\)

Mniejsze przypadki sprawdzamy ręcznie i jest koniec

[Dumel]

Polskimisiek, ale czy zawsze możemy przeprowadzić taki ciąg zbliżeń, że dojdziemy do równości \(\displaystyle{ x_i=x_j}\) dla każdych i,j, czy tylko możemy się dowolnie blisko zbliżyć do tego ciągu równości?

oczywiście to drugie, ale rozwiązanie pozostaje poprawne
niech \(\displaystyle{ x_{i,k}}\) bedzie wartoscią \(\displaystyle{ x_i}\) po \(\displaystyle{ k}\)-tym zblizeniu. wtedy
dla \(\displaystyle{ i \{1,2,...,n\}}\) mamy \(\displaystyle{ \lim_{k \to }a_{i,k}= \frac{1}{n}}\) a więc \(\displaystyle{ \lim_{k \to }F(x_{1,k},...,x_{n,k})=F( \frac{1}{n},..., \frac{1}{n})}\)
powyzsze stwierdzenie pojawialo sie nawet we wzorcowkach zadan z MOM wiec chyba nie warto kwestionowac jego poprawnosci

[Piotr Rutkowski]

Widzę, że Dumel odpowiedział za mnie, przedstawione uzasadnienie jest proste, poprawne i logiczne. Podobne mechanizmy rozwiązywania nierówności są znane pod nazwą metoda MV lub metoda EMV (entire mixing variables).
Czasami bardzo się przydaje za np. zmienne \(\displaystyle{ a,b}\) podstawić \(\displaystyle{ \sqrt{ab},\sqrt{ab}}\) (przy stałym iloczynie) lub \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2}}\) (przy stałej sumie), a wtedy nadal wystarczy rozpatrzeć przypadek dla obu (lub wszystkich) zmiennych równych.