Problem z układem równań

Ryszardo · Post autor: **Ryszardo** » 10 gru 2008, o 20:43

Witam. Mam problem z rozwiązaniem układu równań metodą algebraiczną, proszę o pomoc (najlepiej krok po kroku):

a) \(\displaystyle{ \begin{cases} y = x^{2} - 5x + 10\\y = x + 1\end{cases}}\)

b) \(\displaystyle{ \begin{cases} y = 3x^{2} + x - 2\\3x - y = 1\end{cases}}\)

c) \(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2} + (y + 1)^{2}\\y = x^{2} + 1\end{cases}}\)

d) \(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2} + y^{2} - 2y - 48 = 0\\x^{2} + y^{2} + 18y + 72 = 0\end{cases}}\)

mmoonniiaa · Post autor: **mmoonniiaa** » 10 gru 2008, o 20:48

Proponuję metodę podstawiania:
a)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+1=x^2-5x+10 \\ y=x+1 \end{cases} \begin{cases} x^2-6x+9=0 \\ y=x+1 \end{cases} \begin{cases} (x-3)^2=0 \\ y=x+1 \end{cases} \begin{cases} x=3 \\ y=4 \end{cases}}\)
Przykłady b i c podobnie.

W przykładzie d warto zastosować metodę przeciwnych współczynników.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2} + y^{2} - 2y - 48 = 0\\x^{2} + y^{2} + 18y + 72 = 0 \ / -1)\end{cases} \\
\begin{cases} x^{2} + y^{2} - 2y - 48 = 0\\-x^{2} - y^{2} - 18y - 72 = 0\end{cases} \\
\begin{cases} x^{2} + y^{2} - 2y - 48 = 0\\- 20y - 120 = 0\end{cases} \\
\begin{cases} x^{2} + y^{2} - 2y - 48 = 0\\y=-6\end{cases} \\
\begin{cases} x^{2} + 36 + 12 - 48 = 0\\y=-6\end{cases} \\
\begin{cases} x^{2} = 0\\y=-6\end{cases} \\
\begin{cases} x = 0\\y=-6\end{cases} \\}\)

Ryszardo · Post autor: **Ryszardo** » 10 gru 2008, o 21:00

mmoonniiaa, dziękuję, ale zadanie muszę rozwiązać metodą algebraiczną

mmoonniiaa · Post autor: **mmoonniiaa** » 10 gru 2008, o 21:14

Metoda przeciwnych współczynników i metoda podstawiania to rodzaje metody algebraicznej rozwiązywania układów równań. Dodatkowo, mamy również metodą graficzną.

Ryszardo · Post autor: **Ryszardo** » 10 gru 2008, o 21:26

mmoonniiaa, w przykładzie "a", dlaczego z 10 zrobiło się 10 ? a z "y" zrobiło się 4?

mmoonniiaa · Post autor: **mmoonniiaa** » 10 gru 2008, o 21:27

Ryszardo, poprawione

Ryszardo · Post autor: **Ryszardo** » 10 gru 2008, o 21:38

a taki przykład:

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=3x^{2}+x-2\\3x-y=1\end{cases}}\) \(\displaystyle{ \begin{cases} 3x-1=3x^{2}+x-2\\y=3x-1\end{cases}}\) \(\displaystyle{ \begin{cases} (x - 1/3)^{2}\\y=3x-1\end{cases}}\) \(\displaystyle{ \begin{cases} x= -1/3\\y=-2\end{cases}}\)

?

mmoonniiaa · Post autor: **mmoonniiaa** » 10 gru 2008, o 22:04

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=3x^{2}+x-2\\3x-y=1\end{cases} \begin{cases} 3x-1=3x^{2}+x-2 \\ y=3x-1 \end{cases} \begin{cases} 3x^2-2x-1=0\\y=3x-1\end{cases} \begin{cases} x=- \frac{1}{3} \\y=3x-1\end{cases} \begin{cases} x= 1 \\y=3x-1\end{cases} \begin{cases} x=- \frac{1}{3} \\y=-2\end{cases} \begin{cases} x= 1 \\y=2\end{cases}}\)

Ryszardo · Post autor: **Ryszardo** » 10 gru 2008, o 22:12

mmoonniiaa, a jak obliczyłaś, że x wyszło -1/3 ?

mmoonniiaa · Post autor: **mmoonniiaa** » 10 gru 2008, o 22:18

\(\displaystyle{ 3x^2-2x-1=0 \\
\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4 3 (-1)=4+12=16 \\
\sqrt{16} =4 \\
x_1= \frac{-b- \sqrt{\Delta} }{2a} = \frac{2-4}{6}= - \frac{1}{3} \\
x_2= \frac{-b+ \sqrt{\Delta} }{2a} = \frac{2+4}{6}= 1}\)

Ryszardo · Post autor: **Ryszardo** » 10 gru 2008, o 22:33

gdy Delta wychodzi na minusie to układ jest sprzeczny ?

mmoonniiaa · Post autor: **mmoonniiaa** » 10 gru 2008, o 22:38

Gdy \(\displaystyle{ \Delta}\)

Ryszardo · Post autor: **Ryszardo** » 11 gru 2008, o 01:48

a jak do tych przykładów wykonać ilustracje graficzne ?

mmoonniiaa · Post autor: **mmoonniiaa** » 11 gru 2008, o 10:23

a)
równanie I - parabola
równanie II - prosta

b)
równanie I - parabola
równanie II - prosta

c)
równanie I - okrąg
równanie II - parabola

d)
równanie I - okrąg
równanie II - okrąg

W każdym z podpunktów musisz w jednym układzie współrzędnych narysować dwa wykresy. Współrzędne punktów przecięcia się wykresów to rozwiązania układu.