trójkąt ostrokątny
-
justyska70
- Użytkownik
- Posty: 112
- Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:55
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Płock
- Podziękował: 62 razy
trójkąt ostrokątny
na trójkącie ostrokątnym o bokach AB= 10 pierw.z 3 i BC= 5 pierw.z 5 opisano okrąg o środku w punkcie O i promieniu 10. oblicz cosinus kąta ABC.
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
trójkąt ostrokątny
Dla uproszczenia zapisu oznaczmy \(\displaystyle{ |BC|=a, |AC|=b, |AB|=c, |\angle ABC|=\alpha}\). Niech R=10 będzie długością promienia okręgu opisanego na trójkącie.
Z twierdzenia sinusów mamy \(\displaystyle{ b=2R\sin\alpha}\). Stąd i z twierdzenia kosinusów dostaniemy \(\displaystyle{ a^2+c^2-2ac\cos\alpha=b^2=4R^2\sin^2\alpha=4R^2(1-\cos^2\alpha)}\), czyli \(\displaystyle{ 4R^2\cos^2\alpha-2ac\cos\alpha+(a^2+c^2-4R^2)=0}\).
Wstawiając dane wartości mamy \(\displaystyle{ 400\cos^2\alpha-100\sqrt{15}\cos\alpha+25=0}\), tzn. \(\displaystyle{ 16\cos^2\alpha-4\sqrt{15}\cos\alpha+1=0}\). Stąd wynika, że \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{\sqrt{15}+\sqrt{11}}{8}}\) lub \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{\sqrt{15}-\sqrt{11}}{8}}\).
Zatem \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem ostrym. Wystarczy sprawdzić, czy w którymś z otrzymanych dwóch przypadków któryś z pozostałych kątów nie jest przypadkiem prosty lub rozwarty. Ponieważ kąt o większej mierze leży zawsze naprzeciw dłuższego boku, to wystarczy zbadać kąt ACB.
Z twierdzenia sinusów mamy \(\displaystyle{ b=2R\sin\alpha}\). Stąd i z twierdzenia kosinusów dostaniemy \(\displaystyle{ a^2+c^2-2ac\cos\alpha=b^2=4R^2\sin^2\alpha=4R^2(1-\cos^2\alpha)}\), czyli \(\displaystyle{ 4R^2\cos^2\alpha-2ac\cos\alpha+(a^2+c^2-4R^2)=0}\).
Wstawiając dane wartości mamy \(\displaystyle{ 400\cos^2\alpha-100\sqrt{15}\cos\alpha+25=0}\), tzn. \(\displaystyle{ 16\cos^2\alpha-4\sqrt{15}\cos\alpha+1=0}\). Stąd wynika, że \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{\sqrt{15}+\sqrt{11}}{8}}\) lub \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{\sqrt{15}-\sqrt{11}}{8}}\).
Zatem \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem ostrym. Wystarczy sprawdzić, czy w którymś z otrzymanych dwóch przypadków któryś z pozostałych kątów nie jest przypadkiem prosty lub rozwarty. Ponieważ kąt o większej mierze leży zawsze naprzeciw dłuższego boku, to wystarczy zbadać kąt ACB.