Witam, mam do rozwiązania kilka zadań, ale w niektórych z nich mam problem z dowodem indukcyjnym, jeśli ktoś jest w stanie mi pomóc z góry dziękuje.
Udowodnij, że dla każdego \(\displaystyle{ n N}\) zachodzi:
1.\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{2n+1} (-1)^{k+1}F _{k}=F _{2n}+1}\)
2.\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{2n-1} F_{k}F_{k+1}=F _{2n} ^{2}}\)
3.\(\displaystyle{ F_{n-1}F_{n+1}-F ^{2} _{n}=(-1) ^{n}}\)
4.\(\displaystyle{ F_{2n+1}=F_{n}^{2} +F _{n+1} ^{2}}\)
5.\(\displaystyle{ F_{2n}=F_{n+1}^{2} -F _{n-1} ^{2}}\)
6.\(\displaystyle{ F_{3n}=F_{n}^{3} +F _{n+1} ^{3}-F _{n-1} ^{3}}\)
dowody indukcyjne liczb Fibonacciego
-
Justka
- Użytkownik
- Posty: 1680
- Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 579 razy
dowody indukcyjne liczb Fibonacciego
1.
Od razu dowód:
\(\displaystyle{ L=\sum_{k=0}^{2n+3} (-1)^{k+1}F_k=\sum_{k=0}^{2n+1} (-1)^{k+1}F_k-F_{2n+2}+F_{2n+3} = F_{2n}+1 -F_{2n+2}+F_{2n+3}=F_{2n}+1-F_{2n+2}+(F_{2n+1}+F_{2n+2}) =F_{2n}+F_{2n+1}+1=F_{2n+2}+1=P}\)
2.
\(\displaystyle{ L=\sum_{k=0}^{2n+1}F_kF_{k+1}=\sum_{k=0}^{2n-1}F_kF_{k+1}+F_{2n}F_{2n+1}+F_{2n+1}F_{2n+2}=F_{2n}(F_{2n}+F_{2n+1})+F_{2n+1}F_{2n+2}=F_{2n}F_{2n+2}+F_{2n+1}F_{2n+2}=F_{2n+2}(F_{2n}+F_{2n+1})=F_{2n+2}^2 =P}\)
Od razu dowód:
\(\displaystyle{ L=\sum_{k=0}^{2n+3} (-1)^{k+1}F_k=\sum_{k=0}^{2n+1} (-1)^{k+1}F_k-F_{2n+2}+F_{2n+3} = F_{2n}+1 -F_{2n+2}+F_{2n+3}=F_{2n}+1-F_{2n+2}+(F_{2n+1}+F_{2n+2}) =F_{2n}+F_{2n+1}+1=F_{2n+2}+1=P}\)
2.
\(\displaystyle{ L=\sum_{k=0}^{2n+1}F_kF_{k+1}=\sum_{k=0}^{2n-1}F_kF_{k+1}+F_{2n}F_{2n+1}+F_{2n+1}F_{2n+2}=F_{2n}(F_{2n}+F_{2n+1})+F_{2n+1}F_{2n+2}=F_{2n}F_{2n+2}+F_{2n+1}F_{2n+2}=F_{2n+2}(F_{2n}+F_{2n+1})=F_{2n+2}^2 =P}\)