granica funkcji

[Dastur]

Olbicztyc granice takiej funkcji

\(\displaystyle{ \lim_{(x;y) \to (0;0) } \frac{sin(x ^{2} - y ^{2}) }{xy}}\)

[robal1024]

Będziemy rozpatrywać granicę jako granicę pewnego ciągu utworzonego z ciągów \(\displaystyle{ x _{n}}\) i \(\displaystyle{ y _{n}}\):
\(\displaystyle{ \lim_{(x _{n},y _{n}) \to (0,0)} \frac{sin(x _{n}^{2}-y _{n} ^{2}) }{x _{n} y _{n} }}\)
Teraz musimy pokazać, że istnieją dwa takie wybory ciągów x i y, że granica badanego ciągu jest różna. Wtedy granica badanego ciągu nie istnieje, bowiem nie wszystkie podciągi są zbieżne do tej samej granicy. Wybierzmy sobie \(\displaystyle{ x _{n}= \frac{a}{n} 0 y _{n}= \frac{1}{n} 0}\). Oba wybrane ciągi są zbieżne do zera, zatem spełniają nasze wymagania. Mamy teraz:
\(\displaystyle{ \lim_{(x _{n},y _{n}) \to (0,0)} \frac{sin(x _{n}^{2}-y _{n} ^{2}) }{x _{n} y _{n} }=\lim_{(x _{n},y _{n}) \to (0,0)} \frac{x _{n}^{2}-y _{n} ^{2}}{x _{n} y _{n}} \frac{sin(x _{n}^{2}-y _{n} ^{2}) }{x _{n}^{2}-y _{n} ^{2}}}\)
Drugi człon granicy jest równy 1 na mocy znanego nam wzoru. Rozpatrujemy teraz tylko pierwszy człon. Podstawiamy przyjęte wcześniej ciągi:
\(\displaystyle{ \lim_{(x _{n},y _{n}) \to (0,0)} \frac{x _{n}^{2}-y _{n} ^{2}}{x _{n} y _{n}}= \lim_{n \to } \frac{( \frac{a}{n}) ^{2}- (\frac{1}{n}) ^{2} }{ \frac{a}{n ^{2} } }= \lim_{n \to } \frac{a ^{2} -1}{a} =\frac{a ^{2}-1 }{a}}\)
Pokazaliśmy, że dla różnych wyborów liczby a otrzymujemy różne granice, zatem badana granica nie istnieje.
Pozdrawiam.

[Dastur]

Wielkie dzięki, właśnie nie mogłem zrozumieć tej metody podstawiania. A jeszcze jedno pytanie, jakie są zasady wybierania ciągów \(\displaystyle{ x _{n}}\) i \(\displaystyle{ y _{n}}\) i punktów do których dążą?

[robal1024]

Ich wyraz ogólny musi mieć taką granicę jak odpowiednie współrzędne punktów, do których badamy zbieżność. Tutaj pytamy o granicę punkcie (0,0), zatem oba ciągi muszą dążyć do zera. Gdyby był punkt (5,4) to odpowiednio x(n) musiałoby dążyć do 5, a y(n) do 4.