zbadać zbieźnośc z def. i obliczyć sumę

[beatrixx]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {6}{n!(n+2)}}\)

potrzebuję wskazówki jak to rozbić żeby coś tam sie poskracało. Z góry dziękuję za pomoc.

[xiikzodz]

Niech

\(\displaystyle{ f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{(n+2)!}}\)

Napis ma sens, bo szereg po prawej jest zbiezny bezwzglednie na calej osi rzeczywistej.
Wowczas:

\(\displaystyle{ xf(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n+2}}{(n+2)!}=e^x-1-x-\frac{x^2}{2}}\)

oraz dla \(\displaystyle{ x\neq 0}\)

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{e^x}{x}-\frac 1x-1-\frac x2}\).

Z drugiej strony

\(\displaystyle{ 6f'(1)=6\left(\left.\frac{e^x(x-1)}{x^2}+\frac{1}{x^2}-\frac 12\right|_{x=1}\right)=3}\)

jest szukana suma szeregu.

[beatrixx]

tyle że ta suma ma wynosić 6 a nie 3.. i można prosić o małe wyłumaczenie?..

[xiikzodz]

Jesli ma wynosic 6, to ja ci nie jestem w stanie pomoc - to ponad moje mozliwosci.

A wytlumaczenie juz bylo male. Moze ktos inny zaprezentuje mniejsze.