Kąty ostre w trójkącie prostokątnym

[fox_m]

Liczby \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) są miarami kątów ostrych w trójkącie prostokątnym. Wykaż, że:
\(\displaystyle{ cos \alpha + cos \beta >1}\) .

[Sherlock]

Liczby \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) są miarami kątów ostrych w trójkącie prostokątnym. Wykaż, że:
\(\displaystyle{ cos \alpha + cos \beta >1}\) .

Oznaczając przyprostokątne przez a i b, przeciwprostokątną przez c, mamy:
\(\displaystyle{ cos \alpha + cos \beta= \frac{a}{c} + \frac{b}{c}= \frac{a+b}{c}}\)

Z nierówności trójkąta wiadomo, że:

\(\displaystyle{ a+b>c}\)

Zatem mamy licznik większy od mianownika czyli: \(\displaystyle{ cos \alpha + cos \beta >1}\)

Zgrabniej będzie tak

\(\displaystyle{ cos \alpha + cos \beta >1}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{c} + \frac{b}{c}>1}\) mnożymy przez c (c>0)
\(\displaystyle{ a+b>c}\) nierówność trójkąta