Pochodne piewszego rzędu.

[DaVIDkbc]

Witam,
Mam obliczyć 50 pochodnych...obliczyłem już większą połowę i mam problem przy dwóch przykładach:

1)\(\displaystyle{ y=x^{x^{a}}+x^{a^{x}}+a^{x^{x}}}\)

2)\(\displaystyle{ y=\frac{1}{a} ln\frac{t^{2}-1}{t^{2}+1}}\)

Mógłby mi ktoś powiedzieć jak to zrobić albo chociaż naprowadzić na sposób rozwiązywania?

[miki999]

1.
Przykład jak robić nie można!
Rozdzielić na 3 pochodne i robić podstawienia:
\(\displaystyle{ t=x^{a} \\ u=a^{x} ...}\)

2.
\(\displaystyle{ a^{-1}}\) jest stałą i bierzemy ją przed znak logarytmu, i podstawienie pod wyrażenie logarytmowane.


Edit.
1.Zgodnie z założeniem powyżej:
\(\displaystyle{ f'(x)=(x^{t})' (x^{a})' +(x^{u})' (a^{x})'+(a^{w})' (x^{x})'}\)

2.
podstawienie:
\(\displaystyle{ u= \frac{t^{2}-1}{t^{2}+1} \\
( \frac{1}{a} ln \frac{t^{2}-1}{t^{2}+1})'= \frac{1}{a} (lnu)' ( \frac{t^{2}-1}{t^{2}+1})'}\)
Jej obliczenie nie powinno stanowić problemu.

Pozdrawiam.

[jarzabek89]

Rozumiem, że a to jakaś stała
1) Wyprowadzę Ci wzór na tego typu pochodne. Po pierwsze:
\(\displaystyle{ [f(x)^{g(x)}]'=f(x)^{g(x)}(g'(x)ln(f(x))+g(x)\frac{f'(x)}{f(x)})}\)
\(\displaystyle{ [e^{f(x)}]'=e^{f(x)}f'(x)}\)
Pochodną \(\displaystyle{ x^{x^{x}}}\) Można przedstawić jako \(\displaystyle{ e^{lnx^{x^{x}}}=e^{xlnx^{x}}}\)
\(\displaystyle{ [e^{xlnx^{x}}]'=e^{xlnx^{x}}(xlnx^{x}})'}\)
Już masz praktycznie rozwiązanie.

[DaVIDkbc]

Czyli:

1)\(\displaystyle{ y=x^{x^{a}}+x^{a^{x}}+a^{x^{x}}}\)

y'=\(\displaystyle{ x^{x^{a}}[lnx^{x^{a}}]'=x^{x^{a}}[x^{a}lna]'=x^{x^{a}}ax^{a-1}lnx+x^{a}\frac{1}{x}}\)

Tak to ma być?

[miki999]

\(\displaystyle{ (x^{t})' (x^{a})'=t x^{t-1} ax^{a-1}}\)

[ Dodano: 7 Grudnia 2008, 20:52 ]
Jednak chylę czoła, klepię się w pierś i przepraszam, bo wprowadziłem Cię w błąd. Oczywiście tak nie można wyznaczać tych pochodnych. Teraz postaram się zrobić to poprawnie:
\(\displaystyle{ (x^{x^{a}})'=(e^{x^{a}lnx})'=x^{x^{a}} (x^{a}lnx)'=x^{x^{a}} (ax^{a-1}lnx+x^{a-1}) \\ (x^{a^{x}})'=(e^{a^{x}lnx})'=x^{a^{x}} (a^{x}lnx)'=x^{a^{x}} (a^{x}lnalnx+ \frac{a^{x}}{x}) \\ a^{x^{x}}=e^{x^{x}lna}=a^{x^{x}} lna (x^{x})'}\)

Jeszcze raz wielkie przepraszam.

[DaVIDkbc]

Nic się nie stało, teraz przynajmniej rozumie ten przykład dzięki wielkie

Mam jeszcze jedno pytanie czy ten drugi przykład ma byc tak rozwiązany:

y'=\(\displaystyle{ \frac{1}{a}\frac{t^{2}+1}{t^{2}-1}\frac{2t(t^{2}-1)-(t^{2})2t}{(t^{2}-1)^{2}}}\)

[miki999]

To, co napisałem wyżej, z tym podstawieniem:
\(\displaystyle{ \frac{1}{a} \frac{1}{u} \frac{2t(t^{2}-1)-2t(t^{2}+1)}{(t^{2}+1)^{2}}= \frac{1}{a} \frac{t^{2}+1}{t^{2}-1} \frac{2t(t^{2}-1)-2t(t^{2}+1)}{(t^{2}+1)^{2}}}\)

Jeszcze da się to jakoś uprościć.

[DaVIDkbc]

Dziękuje bardzo za pomoc.