Zbiór wartości funkcji (trygonometria)

[arekklimkiewicz]

Bardzo proszę o sprawdzenie zadania:

Treść Zad:
Wyznacz zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f(x) = 5 - 2sin^{2}x + cosx}\)

Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ f(x) = - 2sin^{2}x + cosx + 5}\)
\(\displaystyle{ f(x) = - 2(1 - cos^{2}x) + cosx + 5}\)
\(\displaystyle{ f(x) = - 2 + 2cos^{2}x + cosx + 5}\)
\(\displaystyle{ f(x) = 2cos^{2}x + cosx + 3}\)

równanie funkcji f(x) sprowadza się do równania funkcji kwadratowej.
a = 2 - współczynnik kierunkowy jest > 0, więc ramiona paraboli funkcji skierowane będą do góry .

Wyliczam współrzędną Y wierzchołka paraboli, aby określić zbiór wartości funkcji:
delta: po wyliczeniu = -23

\(\displaystyle{ \frac{-delta}{4a}}\) = \(\displaystyle{ \frac{23}{8}}\)

Zbiór wartości funkcji f(x): \(\displaystyle{ }\)

[anna_]

Maksymalna wartość funkcji cosinus to 1, a minimalna to -1
No i wykres nie będzie parabolą.

[arekklimkiewicz]

A skąd wziął się ten rysunek?
Mógłby mi ktoś to wytłumaczyć ?
NIECH MI TO KTOŚ W KOŃCU WYTŁUMACZY !!!!!! PROSZĘĘĘĘ

[anna_]

Wykres zrobił mi program.

Wydaje mi się, że tu trzeba skorzystać z pochodnych.

\(\displaystyle{ f'(x)=0}\)

\(\displaystyle{ f''(x _{0} )>0}\) - minimum
\(\displaystyle{ f''(x _{0} )}\)

[soku11]

W tej postaci nie masz jeszcze rownania kwadratowego. Trzeba podstawic zmienna pomocnicza:
\(\displaystyle{ f(x) = 2\cos^2 x + \cos x + 3\\
\cos x=t,\;\;\; t\in[-1;1]\\
f(t)=2t^2+t+3,\;\;\;t\in[-1;1]\\
x_w=\frac{-b}{2a}=-\frac{1}{4}\;\in\mathbb{D}\\
y_w=f\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{23}{8}\\
f(-1)=2-1+3=4\\
f(1)=2+1+3=6\\
f_{min}=f(x_w)=y_w=\frac{23}{8}\\
f_{max}=f(1)=6\\
Y_{f}=\left[\frac{23}{8};6\right]}\)

Pozdrawiam

[anna_]

\(\displaystyle{ f'(x)=sinx(4cosx+1)=0}\)

\(\displaystyle{ sin x=0 \ \ lub \ \ 4cosx+1=0}\)

\(\displaystyle{ x=0 \ \ lub\ \ x=arccos(- \frac{1}{4} )}\)

\(\displaystyle{ x=0 \ \ - maksimum}\)

\(\displaystyle{ x=arccos(- \frac{1}{4} ) \ -minimum}\)
\(\displaystyle{ f(0)=2cos ^{2} 0 } +cos0+3=2 1 ^{2} +1+3=6}\)
\(\displaystyle{ f(- \frac{1}{4} )=2cos ^{2} [arccos(- \frac{1}{4})]+cos[arccos( -\frac{1}{4}] )+3 = 2( -\frac{1}{4} ) ^{2} +(- \frac{1}{4}) +3= \frac{1}{8}- \frac{1}{4}+3= 2 \frac{7}{8}}\)
\(\displaystyle{ f(x) [2 \frac{7}{8} ;6]}\)

[ Dodano: 7 Grudnia 2008, 15:33 ]

\(\displaystyle{ Y_{f}=\left[-\frac{23}{8};6\right]}\)

Ale wykres leży całkowicie nad osią, więc funkcja nie może przyjmować wartości ujemnych

[soku11]

Juz poprawilem Teraz jest ok. Pozdrawiam.