oblicz granice

wikuszka · Post autor: **wikuszka** » 5 gru 2008, o 19:30

Oblicz granice ciągów o wyrazach ogólnych:

\(\displaystyle{ d _{n} = \frac{5 ^{n} n! }{n ^{n} }}\)

\(\displaystyle{ f_{n} = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n ^{2}+k }}\)

Lorek · Post autor: **Lorek** » 5 gru 2008, o 21:08

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{d_n}=\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{5^n\cdot n!}{n^n}}=\lim_{n\to\infty}5\cdot\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}=\frac{5}{e}>1\Rightarrow \lim_{n\to\infty}d_n=\infty}\)

wikuszka · Post autor: **wikuszka** » 6 gru 2008, o 21:14

czy możesz mi wytłumaczyć co to za własność? Skąd e w mianowniku? czy mogę tak po prostu użyć pierwiastka? Nic nie rozumiem z twojego zapisu.

Lorek · Post autor: **Lorek** » 6 gru 2008, o 21:21

To jest kryterium Cauchy'ego 'dostosowane' do ciągów

Mniej więcej coś podobne do tego https://matematyka.pl/28451.htm z tym że zamiast szeregów masz granice.

A to że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}=\frac{1}{e}}\) to też na kilka sposobów można udowodnić, ogólnie granica, którą warto znać.

wikuszka · Post autor: **wikuszka** » 6 gru 2008, o 21:51

W takim razie muszę wierzyć na słowo. Dziękuję Jedno ale: to nie są szeregi(!). Czy mogę do tych ciągów zastosować kryt. Cauchyego?

Lorek · Post autor: **Lorek** » 7 gru 2008, o 12:21

No przecie napisałem, że to jest coś podobnego a nie to samo, a stosować można. Bo żeby wsio ładnie wyglądało możnaby np. zrobić tak
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}d_n=\lim_{n\to\infty}(\sqrt[n]{d_n})^n \left[\left(\frac{5}{e}\right)^\infty\right]=\infty}\)
z tym że do tego też można mieć ale i to większe niż do Cauchy'ego