Wzór Newtona, udowodnij równość.

[kolega buahaha]

Wykaż z zasady indukcji że dla każdego \(\displaystyle{ n N}\) i \(\displaystyle{ n qslant 2}\) prawdziwa jest równosc \(\displaystyle{ {2 \choose 2} + {3 \choose 2} + {4 \choose 2} +....+ {n \choose 2} = {n+1 \choose 3}}\)

Uwaga:
\(\displaystyle{ {n \choose k} = \frac{{n! }}{k!(n-k)!} ;0!=1; 1!=1; (n+1)!=n!(n+1)}\)

"Dziwaczny" temat.
Justka.

[Goter]

1. dla n=2
\(\displaystyle{ L = {2\choose 2} = 1\\
P = {3\choose 3} = 1\\
L = P\\}\)

2. dla n>2

Zał: \(\displaystyle{ {2\choose 2} + {3\choose 2} + {4\choose 2} + ... + {n\choose 2} = {n+1\choose 3}}\)
Teza: \(\displaystyle{ {2\choose 2} + {3\choose 2} + {4\choose 2} + ... + {n\choose 2} + {n+1\choose 2} = {n+2\choose 3}}\)
Dowód:

\(\displaystyle{ L = {2\choose 2} + {3\choose 2} + {4\choose 2} + ... + {n\choose 2} + {n+1\choose 2} = {n+1\choose 3} + {n+1\choose 2} = \frac{(n+1)*n*(n-1)}{6} + \frac{(n+1)*n}{2} = \frac{(n+1)*n*(n-1)+(n+1)*n*3}{6} = \frac{(n+1)*n*(n-1+3)}{6} = \frac{(n+2)*(n+1)*n}{6} = {n+2\choose 3}= P}\)

\(\displaystyle{ L = P}\)

czego należało dowieść

[msx100]

\(\displaystyle{ \sum_{i=2}^{n} {i\choose 2} = {(n+1)\choose 3}}\)
dla n = 2
\(\displaystyle{ {2\choose 2} = 1 = {2+1 \choose 3}}\)
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{n\in N_2} \sum_{i=2}^{n} {i\choose 2} = {n+1\choose 3} \sum_{i=2}^{n+1} {i\choose 2} = {n+2\choose 3}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=2}^{n+1} {i\choose 2} = \sum_{i=2}^{n} {i\choose 2} + {n+1 \choose 3} = {n+1 \choose 2} + {n+1 \choose 3} = \frac{(n+1)!}{3! (n-2)!} + \frac{(n+1)!}{2! (n-1)!} = \frac{n(n+1)}{2} ( \frac{n-1}{3} +1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{6} = { n+2 \choose 3}}\)
na mocy zasady indukcji zupelnej wynika, ze rownosc wyjsciowa jest prawdziwa, dla \(\displaystyle{ n qslant 2}\)

[Goter]

Heh, no to masz dwie wersje ^^

[msx100]

nie zoabczylem, ze juz jest odpowiedz

[kolega buahaha]

hahah że wam się chce o tej godzinie robić zadanka takie to szacuun