Zadania z permutacji, sprzężenia

[sednodna]

Chciałbym tak łopatologicznie wytłumaczone.

1. Czy permutacje a i b są sprzężone?

\(\displaystyle{ a = ft( \begin{matrix} 1&2&3&4&5&6&7\\2&3&1&4&7&5&6 \end{matrix} \right)}\)
\(\displaystyle{ b = ft( \begin{matrix} {1&2&3&4&5&6&7\\2&1&3&4&5&7&6 \end{matrix} \right)}\)

2. Wykaż, że odwzorowanie \(\displaystyle{ \sigma : \sqrt[12]{1} \sqrt[12][1]}\) dane wzorem \(\displaystyle{ \sigma (z) = z^5}\) jest permutacją zbioru \(\displaystyle{ \sqrt[12][1]}\) . Rozłóż tę permutację na cykle i znajdź jej znak. Sprawdź czy istnieje permutacja \(\displaystyle{ \pi}\) zbioru \(\displaystyle{ \sqrt[12][1]}\) taka, że jeśli oznaczymy przez \(\displaystyle{ \epsilon_{k}}\) element \(\displaystyle{ e^{k \frac{2 \pi i}{12} \sqrt[12][1]}\), to:

\(\displaystyle{ \pi \sigma \pi ^{-1} = ft( \begin{matrix} {\epsilon_{0}}&{\epsilon_{1}}&{\epsilon_{2}}&{\epsilon_{3}}&{\epsilon_{4}}&{\epsilon_{5}}&{\epsilon_{6}}&{\epsilon_{7}}&{\epsilon_{8}}&{\epsilon_{9}}&{\epsilon_{10}}&{\epsilon_{11}}\\{\epsilon_{4}}&{\epsilon_{1}}&{\epsilon_{8}}&{\epsilon_{7}}&{\epsilon_{0}}&{\epsilon_{11}}&{\epsilon_{9}}&{\epsilon_{3}}&{\epsilon_{2}}&{\epsilon_{10}}&{\epsilon_{6}}&{\epsilon_{5}} \end{matrix} \right)}\)

3. Niech \(\displaystyle{ K = \lbrace id, (12)(34), (13)(24), (14)(23) \rbrace S_4}\)
a) Sprawdź, że \(\displaystyle{ K}\) jest podgrupą normalną w \(\displaystyle{ S_4}\)
b) Zbadaj \(\displaystyle{ S_{4}/K}\)

c) Rozstrzygnij czy \(\displaystyle{ K eq \mathbb{Z}_{4}}\) czy \(\displaystyle{ K eq \mathbb{Z}_2 \mathbb{Z}_2}\)

[xiikzodz]

1.

\(\displaystyle{ a=(123)(4)(576)}\)

\(\displaystyle{ b=(12)(3)(4)(5)(67)}\)

Nie sa wiec sprzezone, bo maja istotnie rozne rozklady na cykle.