Zbadaj zbieżność szeregu (z logarytmem naturalnym)

[goldenka]

Zbadać zbieżność szeregu
1. \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \ln \frac{n^2+1}{n^2}}\)

1. \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{n^2 \left( \ln n \right) ^2}}\)

Dziękuję za pomoc:)

[msx100]

\(\displaystyle{ \ln \left( 1+x \right) \frac{1}{ \left( n+1 \right) ^2 \left( \ln \left( n+1 \right) \right) ^2} = a_{n+1}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } a_n < + \infty \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{ \infty } 2^k \cdot a_{2^k} < + \infty}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ \infty } 2^k \cdot a_{2^k} = \sum_{k=1}^{ \infty } 2^k \cdot \frac{1}{2^2k (\ln 2^k )^2} =\frac{1}{(\ln 2)^2} \cdot \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{1}{k^2 \cdot 2^k}}\)
szereg\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{1}{k^2}}\) oraz szereg \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{1}{2^k}}\) sa zbiezne, wiec ich iloczyn tez jest zbiezny. Zatem na mocy kryterium o zageszczaniu wynika, ze szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^2 (\ln n )^2}}\) jest tez zbiezny

[goldenka]

czy moglbys rozwiazac podpunkt drugi z innego kryterium?? (d'alemberta, caushego, porownawcze). nie mialam kryterium zageszczenia, w krysickim tez tego nie ma, a przyklad do rozwiazania jest:):)
Dzieki z gory

[msx100]

nie przychodzi mi zaden inny pomysl na podpunkt b) ale pomysle jeszcze

[Wasilewski]

Można tak, od n=3 zachodzi:
\(\displaystyle{ \ln \left( n \right) > 1 \\
\frac{1}{\ln \left( n \right) } < 1 \\
\frac{1}{ \left( \ln \left( n \right) \right) ^2} < 1 \\
\frac{1}{n^2 \left( \ln \left( n \right) \right) ^2} < \frac{1}{n^2}}\)
Zatem na mocy kryterium porównawczego jest zbieżny.

[msx100]

sprytne Wasilewski

[agn]

a gdyby bylo

\(\displaystyle{ \sum_{n-2}^{ \infty } \frac{1}{n\ln ^{2}n }}\)?

[xanowron]

To kryterium zagęszczeniowe.