zadanie optymalizacyjne -pojemnik

[dav45]

Należy skonstruować pojemnik o pojemności V w kształcie walca zwieńczonego półkulą. Jakie wymiary pozwolą zużyć najmniejszą ilość materiału?

Może ktoś mi pomóć się odnajeść w tym zadaniu? wiem że trzeba obliczyć pochodną i jej miejsce zerowe ale chybacoś sknociłem bo mi pochodna wyszła 0.

[escargot]

zacznij od napisania wzoru na objetość danej bryły, z niego wylicz H- wysokośc walca i wstaw do wzoru na pole powierzchni tej bryły, otrzymasz funkcje zmiennej R i dopiero teraz możesz zacząć różniczkować...

\(\displaystyle{ f(R)=\frac{5\pi R^2}{3}+\frac{2V}{R}}\)

\(\displaystyle{ f'(R)=\frac{10\pi R}{3}-\frac{2V}{R^2}}\)

\(\displaystyle{ f'(R)=0}\) dla \(\displaystyle{ R=\sqrt[3]{\frac{3V}{5\pi }}}\) i pochodna zmienia znzk z minusa na plus więc funkcja osiąga dla tego argumentu minimum

znalazłem błą w rachunkach

[miki999]

\(\displaystyle{ V= \pi r^{2}h+ \frac{4}{6} \pi r^{3}= \pi r^{2}(h+ \frac{4}{6} r) \\ P=2 \pi rh+ \pi r^{2}+2 \pi r^{2}=2 \pi r h+3 \pi r^{2} \\ \frac{V}{\pi r^{2}}=h+ \frac{4}{6}r\ \ h= \frac{V}{\pi r^{2}}- \frac{4}{6}r \\ P(r)=2 \pi r( \frac{V}{\pi r^{2}}- \frac{4}{6} r)+3 \pi r^{2}= \frac{2V}{r}+1 \frac{3}{4}r^{2} \pi \\ P'(x)=(2Vr^{-1}+ \frac{7}{4} \pi r^{2})'= \frac{-2V}{r^{2}}+ \frac{7}{2} \pi r \\ \frac{-2V}{r^{2}}+ \frac{7}{2} \pi r=0\ \ r^{3}= \frac{4V}{7 \pi} \ \ r= \sqrt[3]{ \frac{4V}{7 \pi} } \\ Wyznaczamy\ h: \\ h= \frac{V}{\pi \sqrt[3]{ \frac{16V^{2}}{49 \pi ^{2}} } }- \frac{4}{6} \sqrt[3]{ \frac{4V}{7 \pi} }= \frac{1}{2 \sqrt[3]{ \frac{2V}{49 \pi ^{5}} } }- \frac{2}{3} \sqrt[3]{ \frac{4V}{7 \pi} }}\)

[dav45]

czy tam nie ma czasami błędu mi się wydaje że powinno być P(r)=\(\displaystyle{ \frac{2v}{r} \frac{5II r^{2} }{3}}\)

[miki999]

Nie wiem, może jakiś błąd przypadkiem walnąłem jednak escargot otrzymał identyczną odp. jak ja, co raczej minimalizuje prawdopodobieństwo wystąpienia błędu na tamtym etapie obliczeń.

[dav45]

ale wam wyszły różne wyniki

[miki999]

Aha, rzeczywiście

Jeżeli ktoś tu zrobił błąd to raczej ja, no cóż zdarza się. Zatem musisz trochę się pobawić. W każdym razie znasz metodę- powinieneś sobie poradzić.

Pozdrawiam.