Pochodne funkcji

[evelinaa]

zaczelam rozwiazywac troche trudniejsze, ale do latwiejszych tez wracam i czasem jeszcze sprawiaja mi klopot, wiec nie zdziwilabym sie, gdybym jakis prostszy przyklad tu znowu podala ;p

1. \(\displaystyle{ f(x)=sin^{4}x}\) potegowanie jest funkcja zewnetrzna, ale i tak nie wiem jak to dalej liczyc.

2.\(\displaystyle{ f(x)=x^{2}cos4x=2x \ast(cos4x)\ast(-sin)4x + cos\ast4}\) ? chyba cos tu namieszalam ;/

[Dedemonn]

Wszelkie pochodne z funkcji złożonych polecam liczyć podstawieniami.
Wtem pierwszy przykład wygląda tak:

1)\(\displaystyle{ f_{(x)} = sin^{4}x = (sinx)^{4}}\)

Podstawiamy od najbardziej wewnętrznej funkcji:


\(\displaystyle{ a = sinx \\
b = a^{4}}\)

Z obu podstawień liczymy pochodną, a końcowy wynik to iloczyn tych pochodnych. Więc:

\(\displaystyle{ a' = cosx \\
b' = 4a^{3} = 4sin^{3}x}\)

Stad

\(\displaystyle{ f'_{(x)} = cosx*4sin^{3}x}\)

Drugi przykład proponuję przećwiczyć w ten sam sposób.

Pozdrawiam.

[evelinaa]

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{ \sqrt[3]{x} }{1- \sqrt[3]{x} } = \frac{( \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2} }) (1- \sqrt[3]{x})-( \sqrt[3]{x})(- \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2} }){}}}}}\)
pod kreska ulamkowa powinien byc mianownik do kwadratu, ale cos zle wpisuje ta formule i mi bledy wyskakuja. ale najwazniejsze jest sprawdzenie mianownika, dobrze jest to policzone? mozna to juz w takiej postaci zostawic?

[Dedemonn]

Dobrze policzone.

mozna to juz w takiej postaci zostawic?

Oczywiście, że nie można. Dużo mnożenia nie ma, a 2 elementy się zerują.

[evelinaa]

no rzeczywiscie

a jeszcze wroce w zasadzie do jednego z najprostszych przykladow :

y=\(\displaystyle{ \frac{1}{x} = -x^{-2}= \frac{-1}{x^2}}\) ?

[miki999]

Dokładnie

[Dedemonn]

Gdyby tam był prim jeszcze, to by było dokładniej. ;]

[evelinaa]

1. \(\displaystyle{ y=( \frac{2}{ \sqrt{2-3x} })' = \frac{2}{2 \sqrt{2-3x} } \ast(-3)}\) ?

2. \(\displaystyle{ y=\frac{ \sqrt{x}+ \frac{1}{x} }{x}}}\) ten przyklad tez zrobilam dwoma metodami i prosze o sprawdzenie

a) \(\displaystyle{ y=(\frac{ \sqrt{x}+ \frac{1}{x} }{x}})'}\)= \(\displaystyle{ ( \frac{1}{ 2\sqrt{x} }- \frac{1}{x^2} )\ast \frac{1}{x} + ( \sqrt{x}+ \frac{1}{x})\ast(- \frac{1}{x^2} )}\) =\(\displaystyle{ \frac{1}{2x \sqrt{x} } - \frac{2}{x^3} - \frac{ \sqrt{x} }{x^2}}\)

b)\(\displaystyle{ y=(\frac{ \sqrt{x}+ \frac{1}{x} }x}})'}\)=\(\displaystyle{ (\frac{1}{2 \sqrt{x} } - \frac{1}{x^2})\ast x -( \sqrt{x}+ \frac{1}{x} ) = \frac{x}{2 \sqrt{x} } - \frac{1}{x^3}- \sqrt{x} + \frac{1}{x}}\), tu zapisalam tylko sam licznik, bo mianownik to wiadomo,ze do kwadratu

[miki999]

1. Podstawienie: t=2-3x
\(\displaystyle{ (2(2-3x)^{-1/2})'=2 (-\frac{1}{2})t^{-3/2} (-3)= \frac{3}{ \sqrt{t^{3}} }= \frac{3}{ \sqrt{(2-3x)^{3}} }}\)

2. Ten przykład można doprowadzić do prostszej postaci:
\(\displaystyle{ \frac{x^{1/2}+x^{-1}}{x}= \frac{x^{1/2}}{x}+ \frac{x^{-1}}{x}=x^{1/2} x^{-1}+x^{-1} x^{-1}=x^{-1/2}+x^{-2} \\ Obliczenie \ pochodnej\ jest\ trywialne: \\ (x^{-1/2}+x^{-2})'=- \frac{1}{2 \sqrt{x^{3}} }- \frac{2}{x^{3}}}\)

[evelinaa]

ale jakbym zostawila postac taka jak w podpunkcie a i b to tez mogloby byc ;p?

[miki999]

Na oko można stwierdzić, że te wyniki są różne. Podpunkt. a) jest poprawnie policzony, lepiej by było to doprowadzić do takiego wyniku jaki ja otrzymałem, jednak co, kto lubi . Rozwiązania b) nie chce mi się upraszczać

[ Dodano: 6 Grudnia 2008, 15:40 ]
(W przykładzie b) masz jeden z członów \(\displaystyle{ 1/x^{3}}\). Jeżeli go podzielimy przez \(\displaystyle{ x^{2}}\) to otrzymamy \(\displaystyle{ 1/x^{5}}\). Co od razu wykaże nam sprzeczność między naszymi wynikami)

[evelinaa]

zrobilam to jeszcze raz i znowu mi 2 inne wyniki wyszly,rozne tez od tych ktore zapisalam wyzej. wydaje mi sie,ze te umieszczone sa zle z tego zadania 2.

[miki999]

Rozwiązanie w przykładzie a), który podałaś powyżej, jest po uproszczeniu identyczne z moim.

Edit. :

\(\displaystyle{ \frac{1}{2x \sqrt{x} } - \frac{2}{x^{3}} - \frac{ \sqrt{x} }{x^{2}}= \frac{1}{2 \sqrt{x^{3}} }- \frac{2}{x^{3}}- \frac{1}{ \sqrt{x^{3}} }=- \frac{1}{2 \sqrt{x^{3}} }- \frac{2}{x^{3}}}\)

[evelinaa]

oki;)

a podpunkt b wyliczylam jeszcze raz i wyszedl mi taki wynik w liczniku : \(\displaystyle{ \frac{x}{2 \sqrt{x} }- \frac{2}{x} - \sqrt{x}}\) , teraz jest dobrze?

[miki999]

Tak.