Obliczyć całkę oznaczoną dokonując wskazanych podstawień

[tiraeth]

Obliczyć całkę oznaczoną dokonując wskazanych podstawień.

\(\displaystyle{ \int^{6}_{1} \frac{dx}{1+\sqrt{3x-2}},\quad y=\sqrt{3x-2}}\)

Po pierwszym podstawieniu \(\displaystyle{ y = \sqrt{3x-2}}\) otrzymuję:

\(\displaystyle{ - \frac{1}{6} t \frac{ydy}{1+y}}\)

Po podstawieniu drugim \(\displaystyle{ 1+y = u}\) otrzymuję:

\(\displaystyle{ - \frac{1}{6} t \frac{u-1}{u}du = - \frac{1}{6} t 1du + \frac{1}{6} t \frac{du}{u} = - \frac{u}{6} + \frac{\ln|u|}{6} = \frac{\ln{u} - u}{6} = \\ = \frac{\ln{\left(1+\sqrt{3x-2}\right)} - 1 - \sqrt{3x-2}}{6} + C}\)

Co w ostateczności daje mi:

\(\displaystyle{ \int^{6}_{1} \frac{dx}{1+\sqrt{3x-2}} = \frac{\ln{1+4}-1-4}{6} - \frac{\ln{2}-1-1}{6} = \frac{\ln{5}-\ln{2}-3}{6} = \\ = \frac{1}{6} \ln{\frac{5}{2}} - \frac{1}{2}}\)

I nie wiem czy to źle czy nie. Bo w odpowiedziach mam \(\displaystyle{ 2-\frac{2}{3}\ln{\frac{5}{2}}}\)

[jarzabek89]

Wydaje mi się, że błąd jest już przy podstawieniu:
\(\displaystyle{ y=\sqrt{3x-2}}\)
\(\displaystyle{ dy=\frac{1}{2}(3x-2)^{\frac{-1}{2}}3dx=\frac{3}{2(3x-2)^{\frac{1}{2}}}dx}\)
\(\displaystyle{ dx=\frac{2y}{3}dy}\)
Jak teraz podstawimy pod całkę otrzymujemy
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{1+y}\frac{2y}{3}dy=\frac{2}{3}\int \frac{ydy}{1+y}}\)

[tiraeth]

Kurcze felek, fakt, powaliło mi się przy wzorze na \(\displaystyle{ \left(x^a\right)'}\), po prostu podzieliłem przez a-1, a nie pomnożyłem przez a... ehh