Pochodne funkcji
-
- Użytkownik
- Posty: 459
- Rejestracja: 25 paź 2008, o 16:29
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: z daleka ;p
- Podziękował: 105 razy
Pochodne funkcji
zaczelam rozwiazywac troche trudniejsze, ale do latwiejszych tez wracam i czasem jeszcze sprawiaja mi klopot, wiec nie zdziwilabym sie, gdybym jakis prostszy przyklad tu znowu podala ;p
1. \(\displaystyle{ f(x)=sin^{4}x}\) potegowanie jest funkcja zewnetrzna, ale i tak nie wiem jak to dalej liczyc.
2.\(\displaystyle{ f(x)=x^{2}cos4x=2x \ast(cos4x)\ast(-sin)4x + cos\ast4}\) ? chyba cos tu namieszalam ;/
1. \(\displaystyle{ f(x)=sin^{4}x}\) potegowanie jest funkcja zewnetrzna, ale i tak nie wiem jak to dalej liczyc.
2.\(\displaystyle{ f(x)=x^{2}cos4x=2x \ast(cos4x)\ast(-sin)4x + cos\ast4}\) ? chyba cos tu namieszalam ;/
- Dedemonn
- Użytkownik
- Posty: 689
- Rejestracja: 21 lut 2007, o 19:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z kompa
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 137 razy
Pochodne funkcji
Wszelkie pochodne z funkcji złożonych polecam liczyć podstawieniami.
Wtem pierwszy przykład wygląda tak:
1)\(\displaystyle{ f_{(x)} = sin^{4}x = (sinx)^{4}}\)
Podstawiamy od najbardziej wewnętrznej funkcji:
\(\displaystyle{ a = sinx \\
b = a^{4}}\)
Z obu podstawień liczymy pochodną, a końcowy wynik to iloczyn tych pochodnych. Więc:
\(\displaystyle{ a' = cosx \\
b' = 4a^{3} = 4sin^{3}x}\)
Stad
\(\displaystyle{ f'_{(x)} = cosx*4sin^{3}x}\)
Drugi przykład proponuję przećwiczyć w ten sam sposób.
Pozdrawiam.
Wtem pierwszy przykład wygląda tak:
1)\(\displaystyle{ f_{(x)} = sin^{4}x = (sinx)^{4}}\)
Podstawiamy od najbardziej wewnętrznej funkcji:
\(\displaystyle{ a = sinx \\
b = a^{4}}\)
Z obu podstawień liczymy pochodną, a końcowy wynik to iloczyn tych pochodnych. Więc:
\(\displaystyle{ a' = cosx \\
b' = 4a^{3} = 4sin^{3}x}\)
Stad
\(\displaystyle{ f'_{(x)} = cosx*4sin^{3}x}\)
Drugi przykład proponuję przećwiczyć w ten sam sposób.
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 459
- Rejestracja: 25 paź 2008, o 16:29
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: z daleka ;p
- Podziękował: 105 razy
Pochodne funkcji
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{ \sqrt[3]{x} }{1- \sqrt[3]{x} } = \frac{( \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2} }) (1- \sqrt[3]{x})-( \sqrt[3]{x})(- \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2} }){}}}}}\)
pod kreska ulamkowa powinien byc mianownik do kwadratu, ale cos zle wpisuje ta formule i mi bledy wyskakuja. ale najwazniejsze jest sprawdzenie mianownika, dobrze jest to policzone? mozna to juz w takiej postaci zostawic?
pod kreska ulamkowa powinien byc mianownik do kwadratu, ale cos zle wpisuje ta formule i mi bledy wyskakuja. ale najwazniejsze jest sprawdzenie mianownika, dobrze jest to policzone? mozna to juz w takiej postaci zostawic?
- Dedemonn
- Użytkownik
- Posty: 689
- Rejestracja: 21 lut 2007, o 19:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z kompa
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 137 razy
Pochodne funkcji
Dobrze policzone.
Oczywiście, że nie można. Dużo mnożenia nie ma, a 2 elementy się zerują.evelinaa pisze:mozna to juz w takiej postaci zostawic?
-
- Użytkownik
- Posty: 459
- Rejestracja: 25 paź 2008, o 16:29
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: z daleka ;p
- Podziękował: 105 razy
Pochodne funkcji
no rzeczywiscie
a jeszcze wroce w zasadzie do jednego z najprostszych przykladow :
y=\(\displaystyle{ \frac{1}{x} = -x^{-2}= \frac{-1}{x^2}}\) ?
a jeszcze wroce w zasadzie do jednego z najprostszych przykladow :
y=\(\displaystyle{ \frac{1}{x} = -x^{-2}= \frac{-1}{x^2}}\) ?
-
- Użytkownik
- Posty: 459
- Rejestracja: 25 paź 2008, o 16:29
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: z daleka ;p
- Podziękował: 105 razy
Pochodne funkcji
1. \(\displaystyle{ y=( \frac{2}{ \sqrt{2-3x} })' = \frac{2}{2 \sqrt{2-3x} } \ast(-3)}\) ?
2. \(\displaystyle{ y=\frac{ \sqrt{x}+ \frac{1}{x} }{x}}}\) ten przyklad tez zrobilam dwoma metodami i prosze o sprawdzenie
a) \(\displaystyle{ y=(\frac{ \sqrt{x}+ \frac{1}{x} }{x}})'}\)= \(\displaystyle{ ( \frac{1}{ 2\sqrt{x} }- \frac{1}{x^2} )\ast \frac{1}{x} + ( \sqrt{x}+ \frac{1}{x})\ast(- \frac{1}{x^2} )}\) =\(\displaystyle{ \frac{1}{2x \sqrt{x} } - \frac{2}{x^3} - \frac{ \sqrt{x} }{x^2}}\)
b)\(\displaystyle{ y=(\frac{ \sqrt{x}+ \frac{1}{x} }x}})'}\)=\(\displaystyle{ (\frac{1}{2 \sqrt{x} } - \frac{1}{x^2})\ast x -( \sqrt{x}+ \frac{1}{x} ) = \frac{x}{2 \sqrt{x} } - \frac{1}{x^3}- \sqrt{x} + \frac{1}{x}}\), tu zapisalam tylko sam licznik, bo mianownik to wiadomo,ze do kwadratu
2. \(\displaystyle{ y=\frac{ \sqrt{x}+ \frac{1}{x} }{x}}}\) ten przyklad tez zrobilam dwoma metodami i prosze o sprawdzenie
a) \(\displaystyle{ y=(\frac{ \sqrt{x}+ \frac{1}{x} }{x}})'}\)= \(\displaystyle{ ( \frac{1}{ 2\sqrt{x} }- \frac{1}{x^2} )\ast \frac{1}{x} + ( \sqrt{x}+ \frac{1}{x})\ast(- \frac{1}{x^2} )}\) =\(\displaystyle{ \frac{1}{2x \sqrt{x} } - \frac{2}{x^3} - \frac{ \sqrt{x} }{x^2}}\)
b)\(\displaystyle{ y=(\frac{ \sqrt{x}+ \frac{1}{x} }x}})'}\)=\(\displaystyle{ (\frac{1}{2 \sqrt{x} } - \frac{1}{x^2})\ast x -( \sqrt{x}+ \frac{1}{x} ) = \frac{x}{2 \sqrt{x} } - \frac{1}{x^3}- \sqrt{x} + \frac{1}{x}}\), tu zapisalam tylko sam licznik, bo mianownik to wiadomo,ze do kwadratu
- miki999
- Użytkownik
- Posty: 8691
- Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1001 razy
Pochodne funkcji
1. Podstawienie: t=2-3x
\(\displaystyle{ (2(2-3x)^{-1/2})'=2 (-\frac{1}{2})t^{-3/2} (-3)= \frac{3}{ \sqrt{t^{3}} }= \frac{3}{ \sqrt{(2-3x)^{3}} }}\)
2. Ten przykład można doprowadzić do prostszej postaci:
\(\displaystyle{ \frac{x^{1/2}+x^{-1}}{x}= \frac{x^{1/2}}{x}+ \frac{x^{-1}}{x}=x^{1/2} x^{-1}+x^{-1} x^{-1}=x^{-1/2}+x^{-2} \\ Obliczenie \ pochodnej\ jest\ trywialne: \\ (x^{-1/2}+x^{-2})'=- \frac{1}{2 \sqrt{x^{3}} }- \frac{2}{x^{3}}}\)
\(\displaystyle{ (2(2-3x)^{-1/2})'=2 (-\frac{1}{2})t^{-3/2} (-3)= \frac{3}{ \sqrt{t^{3}} }= \frac{3}{ \sqrt{(2-3x)^{3}} }}\)
2. Ten przykład można doprowadzić do prostszej postaci:
\(\displaystyle{ \frac{x^{1/2}+x^{-1}}{x}= \frac{x^{1/2}}{x}+ \frac{x^{-1}}{x}=x^{1/2} x^{-1}+x^{-1} x^{-1}=x^{-1/2}+x^{-2} \\ Obliczenie \ pochodnej\ jest\ trywialne: \\ (x^{-1/2}+x^{-2})'=- \frac{1}{2 \sqrt{x^{3}} }- \frac{2}{x^{3}}}\)
- miki999
- Użytkownik
- Posty: 8691
- Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1001 razy
Pochodne funkcji
Na oko można stwierdzić, że te wyniki są różne. Podpunkt. a) jest poprawnie policzony, lepiej by było to doprowadzić do takiego wyniku jaki ja otrzymałem, jednak co, kto lubi . Rozwiązania b) nie chce mi się upraszczać
[ Dodano: 6 Grudnia 2008, 15:40 ]
(W przykładzie b) masz jeden z członów \(\displaystyle{ 1/x^{3}}\). Jeżeli go podzielimy przez \(\displaystyle{ x^{2}}\) to otrzymamy \(\displaystyle{ 1/x^{5}}\). Co od razu wykaże nam sprzeczność między naszymi wynikami)
[ Dodano: 6 Grudnia 2008, 15:40 ]
(W przykładzie b) masz jeden z członów \(\displaystyle{ 1/x^{3}}\). Jeżeli go podzielimy przez \(\displaystyle{ x^{2}}\) to otrzymamy \(\displaystyle{ 1/x^{5}}\). Co od razu wykaże nam sprzeczność między naszymi wynikami)
-
- Użytkownik
- Posty: 459
- Rejestracja: 25 paź 2008, o 16:29
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: z daleka ;p
- Podziękował: 105 razy
Pochodne funkcji
zrobilam to jeszcze raz i znowu mi 2 inne wyniki wyszly,rozne tez od tych ktore zapisalam wyzej. wydaje mi sie,ze te umieszczone sa zle z tego zadania 2.
- miki999
- Użytkownik
- Posty: 8691
- Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1001 razy
Pochodne funkcji
Rozwiązanie w przykładzie a), który podałaś powyżej, jest po uproszczeniu identyczne z moim.
Edit. :
\(\displaystyle{ \frac{1}{2x \sqrt{x} } - \frac{2}{x^{3}} - \frac{ \sqrt{x} }{x^{2}}= \frac{1}{2 \sqrt{x^{3}} }- \frac{2}{x^{3}}- \frac{1}{ \sqrt{x^{3}} }=- \frac{1}{2 \sqrt{x^{3}} }- \frac{2}{x^{3}}}\)
Edit. :
\(\displaystyle{ \frac{1}{2x \sqrt{x} } - \frac{2}{x^{3}} - \frac{ \sqrt{x} }{x^{2}}= \frac{1}{2 \sqrt{x^{3}} }- \frac{2}{x^{3}}- \frac{1}{ \sqrt{x^{3}} }=- \frac{1}{2 \sqrt{x^{3}} }- \frac{2}{x^{3}}}\)
Ostatnio zmieniony 6 gru 2008, o 15:58 przez miki999, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 459
- Rejestracja: 25 paź 2008, o 16:29
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: z daleka ;p
- Podziękował: 105 razy
Pochodne funkcji
oki;)
a podpunkt b wyliczylam jeszcze raz i wyszedl mi taki wynik w liczniku : \(\displaystyle{ \frac{x}{2 \sqrt{x} }- \frac{2}{x} - \sqrt{x}}\) , teraz jest dobrze?
a podpunkt b wyliczylam jeszcze raz i wyszedl mi taki wynik w liczniku : \(\displaystyle{ \frac{x}{2 \sqrt{x} }- \frac{2}{x} - \sqrt{x}}\) , teraz jest dobrze?